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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:27 Sa 12.04.2008 | | Autor: | MacMath |
| Aufgabe | Aufgabe 2. Es seien K ein K¨orper, G eine Gruppe und G' die Kommutatorgruppe von G. Man zeige:
a) Zwei Matrixdarstellungen von G ¨uber K vom Grad 1 sind genau dann ¨aquivalent, wenn sie gleich
sind.
b) Die Gruppe G und ihre Kommutatorfaktorgruppe G/G' haben die gleiche Anzahl von Matrixdarstellungen
¨uber K vom Grad 1. |
Hi,
also ich bin mir ziemlich sicher a) gelöst zu haben:
[mm] GL_1(K) \cong (K\backslash {0},\cdot), [/mm] also abelsch
=>deshalb sind Ähnliche Darstellungen gleich.
Die Rückrichtung ist trivial.
scheitern tu ich bei b)
aus a folgt dass nur auf Äquivalenz gepfüft werden muss, damit sind 2 Darstellungen genau dann gleich, wenn sie den gleichen Charakter haben.
Wie kann ich nun zeigen dass es für beide Gruppen gleich viele Charakter in K gibt? Da Darstellungen eine ganze Konjugiertenklasse auf das selbe [mm] (c)\in [/mm] K abbilden würde es doch reichen zu zeigen dass beide Gruppen die gleiche Anzahl von Konjugiertenklassen besitzen oder?
Danke schon mal
Daniel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:33 Sa 12.04.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> also ich bin mir ziemlich sicher a) gelöst zu haben:
> [mm]GL_1(K) \cong (K\backslash {0},\cdot),[/mm] also abelsch
> =>deshalb sind Ähnliche Darstellungen gleich.
> Die Rückrichtung ist trivial.
das passt.
> scheitern tu ich bei b)
> aus a folgt dass nur auf Äquivalenz gepfüft werden muss,
> damit sind 2 Darstellungen genau dann gleich, wenn sie den
> gleichen Charakter haben.
überlge dir, dass für einen homomorphismus $G [mm] \longrightarrow [/mm] A$ mit $A$ abelsch stets $G'$ im kern liegt. eine lineare darstellung ist nun ein homomorphismus in eine abelsch gruppe, also induziert jeder homomorphismus $G [mm] \longrightarrow [/mm] A$ einen homomorphismus $G/G' [mm] \longrightarrow [/mm] A$ und umgekehrt.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:21 Sa 12.04.2008 | | Autor: | MacMath |
Warum ist [mm] GL_n(K) [/mm] abelsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:23 Sa 12.04.2008 | | Autor: | andreas |
hi
du hast doch oben selber schon geschrieben (beachte: "Matrixdarstellungen ¨uber K vom Grad 1."): [mm] $\mathrm{GL}_1(K) [/mm] = [mm] K^\times$.
[/mm]
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:48 Sa 12.04.2008 | | Autor: | MacMath |
OUTSCH lol head->table
hab auch noch einen möglichen Ansatz für mein anderes Problem, poste das aber an passende Stelle ;)
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