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| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo Mathefreunde,
Kann mir jemand bei der bewältigung dieser Aufgabe helfen?
Weiß nicht wie ich da ran zu gehen haben.
Weiß: [mm] \forall [/mm] p,q [mm] \in \pi_2 [/mm] gilt: [mm] <\Phi(p),q>=
[/mm]
Aber wie muss ich jetzt damit arbeiten um auf die zugehörige Darstellungsmatrix zu kommen?
Hoffe auf Hilfe!
viele Grüße, der mathedepp_No.1
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:07 Sa 19.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Hallo Mathefreunde,
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> Kann mir jemand bei der bewältigung dieser Aufgabe helfen?
> Weiß nicht wie ich da ran zu gehen haben.
>
> Weiß: [mm]\forall[/mm] p,q [mm]\in \pi_2[/mm] gilt:
> [mm]<\Phi(p),q>=[/mm]
>
>
> Aber wie muss ich jetzt damit arbeiten um auf die
> zugehörige Darstellungsmatrix zu kommen?
Wenn $S$ die Darstellungsmatrix des Skalarproduktes bzgl. [mm] $\mathbb{B}$ [/mm] ist, dann soll ja fuer alle $x, y [mm] \in \IR^n$ [/mm] gelten [mm] $x^t M_\mathbb{B}(\Phi)^t [/mm] S y = [mm] (M_\mathbb{B}(\Phi) x)^t [/mm] S y = [mm] x^t [/mm] S [mm] M_\mathbb{B}(\Phi^a) [/mm] y$, was nichts anderes bedeutet als dass [mm] $M_\mathbb{B}(\Phi)^t [/mm] S = S [mm] M_\mathbb{B}(\Phi^a)$ [/mm] sein soll. Da $S$ invertierbar ist (ansonsten wuerd es kein Skalarprodukt definieren) folgt daraus, dass [mm] $M_\mathbb{B}(\Phi^a) [/mm] = [mm] S^{-1} M_\mathbb{B}(\Phi)^t [/mm] S$ ist.
LG Felix
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Hallo Felix,
erstmal vielen Dank für deine Rückmeldung.
Nur leider verstehe ich nicht ganz was du mir sagen möchtest mit:
> Wenn [mm]S[/mm] die Darstellungsmatrix des Skalarproduktes bzgl.
> [mm]\mathbb{B}[/mm] ist, dann soll ja fuer alle [mm]x, y \in \IR^n[/mm]
> gelten [mm]x^t M_\mathbb{B}(\Phi)^t S y = (M_\mathbb{B}(\Phi) x)^t S y = x^t S M_\mathbb{B}(\Phi^a) y[/mm],
> was nichts anderes bedeutet als dass [mm]M_\mathbb{B}(\Phi)^t S = S M_\mathbb{B}(\Phi^a)[/mm]
> sein soll. Da [mm]S[/mm] invertierbar ist (ansonsten wuerd es kein
> Skalarprodukt definieren) folgt daraus, dass
> [mm]M_\mathbb{B}(\Phi^a) = S^{-1} M_\mathbb{B}(\Phi)^t S[/mm] ist.
Habe den Zusammenhang noch nicht ganz verstanden.
Versuchst du's nochmal ?
Viele GRüße, der mathedepp
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:25 So 20.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo.
Wenn [mm] $\mathbb{B} [/mm] = [mm] \{ b_1, \dots, b_n \}$ [/mm] die Basis ist, was ist die Darstellungsmatrix $S$ von [mm] $\langle \bullet, \bullet \rangle$ [/mm] bzgl. [mm] $\mathbb{B}$?
[/mm]
Und wenn $x = [mm] \sum_{i=1}^n \lambda_i b_i$ [/mm] und $y = [mm] \sum_{i=1}^n \mu_i b_i$, [/mm] wie drueckt man [mm] $\langle [/mm] x, y [mm] \rangle$ [/mm] mit Hilfe von [mm] $(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$, $(\mu_1, \dots, \mu_n)$ [/mm] und $S$ aus?
Und wenn [mm] $\Phi(x) [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^n \alpha_i b_i$ [/mm] ist, wie drueckt man [mm] $(\alpha_1, \dots, \alpha_n)$ [/mm] durch [mm] $(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$ [/mm] und [mm] $M_{\mathbb{B}}(\Phi)$ [/mm] aus? Und das gleiche fuer [mm] $\Phi^a(y)$?
[/mm]
Beantworte das alles erstmal, und wenn du das hast, benutze das um die Gleichung [mm] $\langle \Phi(x), [/mm] y [mm] \rangle [/mm] = [mm] \langle [/mm] x, [mm] \Phi^a(y) \rangle$ [/mm] in `Matrizenform' umzuschreiben.
Dann kommst du genau auf die erste Gleichung, die ich hingeschrieben habe.
LG Felix
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Hallo Felix,
Ich habe ne Frage bzgl. deiner Antwort
> Wenn [mm]\mathbb{B} = \{ b_1, \dots, b_n \}[/mm] die Basis ist, was
> ist die Darstellungsmatrix [mm]S[/mm] von [mm]\langle \bullet, \bullet \rangle[/mm]
> bzgl. [mm]\mathbb{B}[/mm]?
>
> Und wenn [mm]x = \sum_{i=1}^n \lambda_i b_i[/mm] und [mm]y = \sum_{i=1}^n \mu_i b_i[/mm],
> wie drueckt man [mm]\langle x, y \rangle[/mm] mit Hilfe von
> [mm](\lambda_1, \dots, \lambda_n)[/mm], [mm](\mu_1, \dots, \mu_n)[/mm] und [mm]S[/mm]
> aus?
>
> Und wenn [mm]\Phi(x) = \sum_{i=1}^n \alpha_i b_i[/mm] ist, wie
> drueckt man [mm](\alpha_1, \dots, \alpha_n)[/mm] durch [mm](\lambda_1, \dots, \lambda_n)[/mm]
> und [mm]M_{\mathbb{B}}(\Phi)[/mm] aus?>
das hab ich alles gemacht, weiß aber nicht, wie ich
Und das gleiche fuer
> [mm]\Phi^a(y)[/mm]?
zu bestimmen habe
Es wäre sehr hilfreich, wenn du das erklären könntset.
Lg V.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Fr 25.05.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:01 Mi 23.05.2007 | | Autor: | verkackt |
Hi Felix,
erstmal vielen Dank für deine Hilfe,kannst du bitte kurz erklären, warum hier gilt:
> Wenn [mm]S[/mm] die Darstellungsmatrix des Skalarproduktes bzgl.
> [mm]\mathbb{B}[/mm] ist, dann soll ja fuer alle [mm]x, y \in \IR^n[/mm]
> gelten [mm]x^t M_\mathbb{B}(\Phi)^t S y = (M_\mathbb{B}(\Phi) x)^t S y = x^t S M_\mathbb{B}(\Phi^a) y[/mm],
LG V.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:47 Mi 23.05.2007 | | Autor: | verkackt |
Danke, ich hab es selbst rausgefunden.
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