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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:45 Do 26.04.2012 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe | Es sei [mm] V:=\{ \ f(X)\in\IR[X] \ | \ deg(f(X)\le \ 2 \ \} [/mm] der [mm] \IR-Vektorraum [/mm] aller Polynome vom Grad kleiner-gleich 2 mit Koeffizienten aus [mm] \IR.
[/mm]
Weiter sei durch
[mm] \Phi(f(X),g(X)):=\integral_{0}^{1}{f(X)*g(X) \ dx}
[/mm]
eine Abbildung auf $ [mm] V\times [/mm] V $ gegeben.
b) Wir betrachten die Basis [mm] B=(1,X,X^2) [/mm] von V. Berechnen Sie die Matrix [mm] M^B(\Phi).
[/mm]
c) Es sei [mm] D\in End_{\IR}(V) [/mm] der durch formale Ableitung von Polynomen gegebene Endomorphismus auf V. Berechnen Sie die bezüglich [mm] \Phi [/mm] zu D adjungierte Abbildung [mm] D^\*. [/mm] |
Habe das wie folgt gemacht und stoße dabei auf ein Problem:
b) Für die Darstellungsmatrix gilt mit Basis [mm] (1,x,x^2):
[/mm]
[mm] \Phi(1)=\integral_0^1{1 \ dx}=[x]^1_0=1=1*1+0*x+0*x^2
[/mm]
[mm] \Phi(x)=...=[\bruch{1}{2}x^2]^1_0=\bruch{1}{2}=\bruch{1}{2}*1+0*x+0*x^2
[/mm]
[mm] \Phi(x^2)=...=\bruch{1}{3}=\bruch{1}{3}*1+0*x+0*x^2
[/mm]
Damit wäre [mm] M^B(\Phi)=\pmat{1&\bruch{1}{2}&\bruch{1}{3} \\ 0&0&0 \\ 0&0&0}
[/mm]
Um jetzt aber Aufgabenteil c) zu lösen müsste ich [mm] M^B(\Phi) [/mm] invertieren, was wohl ein Problem darstellen dürfte.
Was mache ich hier falsch? Danke für jede Hilfe!
Gurß
chesn
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> Es sei [mm]V:=\{ \ f(X)\in\IR[X] \ | \ deg(f(X)\le \ 2 \ \}[/mm] der
> [mm]\IR-Vektorraum[/mm] aller Polynome vom Grad kleiner-gleich 2 mit
> Koeffizienten aus [mm]\IR.[/mm]
> Weiter sei durch
>
> [mm]\Phi(f(X),g(X)):=\integral_{0}^{1}{f(X)*g(X) \ dx}[/mm]
>
> eine [mm] \red{...} [/mm] Abbildung auf [mm]V\times V[/mm] gegeben.
Hallo,
wo ich die roten Punkte eingefügt habe, stand im Originaltext nichts?
Was war Aufg. a)?
>
> b) Wir betrachten die Basis [mm]B=(1,X,X^2)[/mm] von V. Berechnen
> Sie die Matrix [mm]M^B(\Phi).[/mm]
>
> c) Es sei [mm]D\in End_{\IR}(V)[/mm] der durch formale Ableitung von
> Polynomen gegebene Endomorphismus auf V. Berechnen Sie die
> bezüglich [mm]\Phi[/mm] zu D adjungierte Abbildung [mm]D^\*.[/mm]
> Habe das wie folgt gemacht und stoße dabei auf ein
> Problem:
>
> b) Für die Darstellungsmatrix gilt mit Basis [mm](1,x,x^2):[/mm]
>
> [mm]\Phi(1)=\integral_0^1{1 \ dx}=[x]^1_0=1=1*1+0*x+0*x^2[/mm]
>
> [mm]\Phi(x)=...=[\bruch{1}{2}x^2]^1_0=\bruch{1}{2}=\bruch{1}{2}*1+0*x+0*x^2[/mm]
> [mm]\Phi(x^2)=...=\bruch{1}{3}=\bruch{1}{3}*1+0*x+0*x^2[/mm]
Du machst hier etwas Grundlegendes falsch:
[mm] \phi(1) [/mm] usw. kann man doch gar nicht ausrechnen, weil die Funktion nicht auf V, sondern auf [mm] V\times [/mm] V definiert ist!
[mm] \phi [/mm] ist nicht eine lineare Abbildung, wie Du in der Überschrift schreibst, sondern eine bilineare.
Genauer: es ist ein Bilinearform aus dem [mm] V\times [/mm] V nach [mm] \IR.
[/mm]
Statt daß ich jetzt alles hinschreibe, schau mal in der wikipedia unter "Bilinearform".
Da ist erklärt, wie man die Matrix ausrechnet.
Du brauchst nämlich [mm] \phi(1,1), \phi [/mm] (1,x), [mm] \phi(1,x^2) [/mm] usw.
>
> Damit wäre [mm]M^B(\Phi)=\pmat{1&\bruch{1}{2}&\bruch{1}{3} \\
0&0&0 \\
0&0&0}[/mm]
>
> Um jetzt aber Aufgabenteil c) zu lösen müsste ich
> [mm]M^B(\Phi)[/mm] invertieren, was wohl ein Problem darstellen
> dürfte.
>
> Was mache ich hier falsch? Danke für jede Hilfe!
>
> Gurß
> chesn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:01 Do 26.04.2012 | | Autor: | chesn |
Danke Angela! Das hat sehr geholfen!
Gruß
chesn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:50 Mo 30.04.2012 | | Autor: | triad |
hallo,
es ist doch [mm] M^B_B(\tilde D)=M^B(\phi)^{-1}*M^B_B(D)^T*M^B(\phi), [/mm] bekannt aus VL, wobei [mm] $\tilde [/mm] D$ die zu D adjungierte Abb. ist.
Aus b) erhält man [mm] M^B(\phi)=\pmat{1&\bruch{1}{2}&\bruch{1}{3} \\ \bruch{1}{2}&\bruch{1}{3}&\bruch{1}{4} \\ \bruch{1}{3}&\bruch{1}{4}&\bruch{1}{5}}.
[/mm]
Damit ergibt sich [mm] M^B(\phi)^{-1}=3*\pmat{3&-12&10 \\ -12&64&-60 \\ 10&-60&60}.
[/mm]
Und da D der Ableitungs-Endomorphismus ist, ist [mm] M^B_B(D)=\pmat{0&1&2 \\ 0&0&1 \\ 0&0&0}, [/mm] also [mm] M^B_B(D)^T=\pmat{0&0&0 \\ 1&0&0 \\ 2&1&0}.
[/mm]
Nach obiger Formel wäre dann [mm] M^B_B(\tilde D)=\bruch{1}{2}\pmat{78&44&31 \\ -516&-288&-202 \\ 540&300&210}. [/mm] (!?)
Kann das jemand bestätigen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:18 Mo 30.04.2012 | | Autor: | chesn |
Irre ich mich oder gilt nicht folgendes:
[mm] D(1)=0=0*1+0*x+0*x^2
[/mm]
[mm] D(x)=1=1*1+0*x+0*x^2
[/mm]
[mm] D(x^2)=2x=0*1+2*x+0*x^2
[/mm]
Dann wäre aber doch
[mm] M^B_B(D)=\pmat{ 0&1&0 \\ 0&0&2 \\ 0&0&0 }
[/mm]
Gruß
chesn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:02 Mo 30.04.2012 | | Autor: | triad |
Danke, da lag mein Fehler.
$ [mm] M^B_B(D)=\pmat{ 0&1&0 \\ 0&0&2 \\ 0&0&0 } [/mm] $ ist richtig.
Damit ist $ [mm] M^B_B(\tilde D)=\pmat{ -6&2&3 \\ 12&-24&-26 \\ 0&30&30 } [/mm] $.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:45 Di 01.05.2012 | | Autor: | Fincayra |
Hi
Verrat mir mal, wie ich auf die Matrix komme. Bei mir kommen da irgendwelche blöden Brüche raus. Aber da uns letztens erst gesagt wurde, dass wir misstrauisch sein sollen, wenn da irgendwelche "ungeraden" Zahlen rauskommen, glaube ich, dass meine Matrix falsch ist. Das heißt aber, dass ich beim multiplizieren was falsch machen muss - was ich eigentlich nicht glaube. Ich multipliziere doch zunächst die ersten beiden Matrizen und multipliziere dann das Zwischenergebnis mit der dritten Matrix, oder? Die jeweiligen Matrizen hab ich auch, hier stehen sie auch...Ich weiß grad echt nicht was ich hier falsch mache : /
LG
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> Ich multipliziere doch
> zunächst die ersten beiden Matrizen und multipliziere dann
> das Zwischenergebnis mit der dritten Matrix, oder? Die
> jeweiligen Matrizen hab ich auch, hier stehen sie
> auch...
Hallo,
es ist ja so, daß wir hier gern helfen, aber man muß ja nicht ein Detektivspiel daraus machen.
Poste doch kurz die Bilinearform, die Basen und die Multiplikationsaufgabe, welche zu lösen ist - im Idealfall mit Deinen Zwischenergebnissen. So kann man sicher rausfinden, was bei Dir schiefläuft, ohne sich alles selbst zusammenzusuchen und zusammenzutippen müssen.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:50 Mi 02.05.2012 | | Autor: | Fincayra |
Hallo
Entschuldige. Wenn man die Aufgabe vor sich hat, ist es immer so logisch, von was man redet. Für andere ist das natürlich weniger durchsichtig ^^
Also hier nochmal komplett:
Die zu lösende Gleichung: $ [mm] M^B_B(\tilde D)=M^B(\phi)^{-1}\cdot{}M^B_B(D)^T\cdot{}M^B(\phi), [/mm] $
Und mit den jeweiligen Matrizen: $ [mm] M^B_B(\tilde [/mm] D)= [mm] M^B(\phi)^{-1}=3\cdot{}\pmat{3&-12&10 \\ -12&64&-60 \\ 10&-60&60} [/mm] * [mm] \pmat{ 0&1&0 \\ 0&0&2 \\ 0&0&0 } [/mm] * [mm] \pmat{1&\bruch{1}{2}&\bruch{1}{3} \\ \bruch{1}{2}&\bruch{1}{3}&\bruch{1}{4} \\ \bruch{1}{3}&\bruch{1}{4}&\bruch{1}{5}} [/mm] $
Die Matrizen sind berechnet und stehen auch so hier im Thema; sie sollten also richtig sein.
Multipliziert wird doch einfach von links nach rechts.
Allerdings steht hier im Thema ein anderes Ergebnis, als ich rausbekomme.
Die ersten beiden Matrizen multipliziert bekomm ich $ [mm] \pmat{0&9&-72\\0&-36&384\\0&30&-360}$ [/mm] raus. Diese dann mit der dritten multipliziert kommen viel zu viele Brüche raus, als das ich es für Wahrscheinlich halte, dass es richtig ist.
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:48 Mi 02.05.2012 | | Autor: | davux |
Hallo Fincayra,
deine Vermutung ist richtig. Und zwar rechnest du fälschlicherweise mit [mm] M_B^B(D), [/mm] anstatt mit [mm] M_B^B(D)^T.
[/mm]
Das korrekte Ergebnis lautet:
[mm] $M_B^B(\tilde{D})=\pmat{-6&2&3\\12&-24&-26\\0&30&30}$.
[/mm]
Gruß,
dfx
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