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| Aufgabe | Sei [mm] P=\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 } \in Mat(2,2;\IR). [/mm] Wir betrachten die [mm] \IR-lineare [/mm] Abbildung [mm] g:Mat(2,2;\IR) \to Mat(2,2;\IR), M\mapsto P*M*P^{T}.
[/mm]
Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix [mm] M^{D}_D(g) [/mm] der Abbildung g bzgl. der Basis [mm] D=(\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }, \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 1 }, \pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 1 }, \pmat{ -1 & 0 \\ 1 & 0 }) [/mm] von [mm] Mat(2,2;\IR). [/mm] |
Huhu,
hier meine Lösung:
[mm] P^{T} [/mm] ist ja die transponierte Matrix von P, also [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }^{T} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 1 & 1 }.
[/mm]
Dann berechne ich jetzt [mm] P*M*P^{T}: [/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }*\underbrace{\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }}_{Basisvektor-von-D}*\pmat{ 1 & 0 \\ 1 & 1 }=\pmat{ 2 & 1 \\ 0 & 0 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }*\underbrace{\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 1 }}_{Basisvektor-von-D}*\pmat{ 1 & 0 \\ 1 & 1 }=\pmat{ 2 & 2 \\ 1 & 1 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }*\underbrace{\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 1 }}_{Basisvektor-von-D}*\pmat{ 1 & 0 \\ 1 & 1 }=\pmat{ 2 & 1 \\ 2 & 1 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }*\underbrace{\pmat{ -1 & 0 \\ 1 & 0 }}_{Basisvektor-von-D}*\pmat{ 1 & 0 \\ 1 & 1 }=\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 }
[/mm]
So, diese Vektoren stelle ich nun als Linearkombination von den Basisvektoren von D dar:
[mm] \pmat{ 2 & 1 \\ 0 & 0 } [/mm] = [mm] \bruch{3}{2}*\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }-\bruch{1}{2}*\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 1 }+\bruch{1}{2}*\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 1 }-\bruch{1}{2}*\pmat{ -1 & 0 \\ 1 & 0 }
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] die erste Spalte der Darstellungsmatrix lautet: [mm] \vektor{\bruch{3}{2} \\ -\bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2} \\ -\bruch{1}{2}}
[/mm]
[Analog berechnet man es noch für die anderen 3 und man erhält die komplette Darstellungsmatrix]
Habe ich die Aufgabe so richtig gelöst?
Mfg, DMF
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:03 So 28.12.2008 | | Autor: | Merle23 |
Ich hab nicht nachgerechnet aber der Weg ist komplett richtig.
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