Darstellung von Niveaulinien < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:56 Di 25.01.2005 | | Autor: | moritzw |
hallo,
da man Funktionen mit zwei Variablen nicht in der Schule durchnimmt, stelle ich die Frage einfach mal im Uni-Analysis Forum..
Nun möchte ich wissen, wie man Höhenlinien in Funktionsschreibweise darstellen kann. Mir ist klar, dass man bei einer Funktion z=f(x,y), z konstant setzen muss, und dann bekommt man für verscheidene Werte von z die entsrechende Niveaulinie, wenn man nach x oder y auflöst. Angenommen es lässt sich bei einer Funktion anch x auflösen für z=const, ist dann die neu entstandene Gleichung x=.... wieder eine Funktion mit der abhängigen Variablen x für die Niveaulinien?
Ich habe das anhand einem Beispiel mit z=x²+y² mir mal angeschaut.
Wenn man jetzt nach x auflöst, erhält man x= [mm] \wurzel{z-y²} [/mm] . Angenommen man setzt z=2, bekommt man x= [mm] \wurzel{2-y²}. [/mm] Ist das dann eine Funktion für die Niveaulinie mit dem Nivea 2?
Außerdem würde mcih interessieren, wie man die Niveaulinien von Funktionen bekommt, die sich nicht einfach nach x oder y auflösen lassen, wie z.b. z=sin(x²)+cosy
Ich hoffe irgendwer kann mir das etwas verständlich machen!
Achja, kennt eigentlich wer ein Programm, mit dem man solche Niveaulinien zeichnen kann?
Besten Dank im Vorraus
Gruß Moritz
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Moritz!
Das größte Problem bei Niveaulinien ist, dass diese im Allgemeinen nicht Graphen von Funktionen sind. Der Kreis $z = [mm] y^2 [/mm] + [mm] x^2$ [/mm] (für $z > 0$) ist das beste Beispiel.
Wenn Du den versuchst, nach $y$ aufzulösen, um die Niveaulinie als Funktion von $x$ darzustellen, ergibt sich:
$y = [mm] \pm \sqrt{z - x^2}$
[/mm]
Zum einen hat diese Gleichung für [mm] $x^2 [/mm] > z$ im Reellen keine Lösung, aber das noch schwerwiegendere Problem ist, dass es für [mm] $x^2 [/mm] < z$ immer zwei Lösungen gibt! Das sieht man auch graphisch ein - wenn Du Dir einen Kreis mit Mittelpunkt im Ursprung und Radius $z$ ins Koordinatensystem zeichnest, dann siehst Du, dass es nicht Graph einer Funktion ist: für [mm] $x^2 [/mm] > z$ gibt es keinen Wert, für [mm] $x^2 [/mm] = z$ gibt es einen Funktionswert, aber für [mm] $x^2 [/mm] < z$ gibt es zwei! Das liefert also keine Funktion mehr.
An der Uni lernst Du im zweiten Semester, dass es unter bestimmten Nebenbedingungen aber wenigstens "lokal" eine solche Funktion gibt. Aber das kommt, wie gesagt, später...
Dies sollte auch die andere Frage beantworten: schon beim vermeintlich "einfachen" Kreis ist das Auflösen nach $x$ bzw. $y$ kein so leichtes Unterfangen, man kann leicht mal ein Vorzeichen verlieren...
Was das Programm angeht: das kann fast jedes Matheprogramm... Maple, Mathematica, wie sie alle heißen... ich weiß aber nicht, ob bzw. wo es kostengünstige Versionen solcher Programme gibt.
Gruß,
Lars
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:03 Mi 26.01.2005 | | Autor: | moritzw |
hallo, danke erstmal für die antwort!
habe das allerdings noch nicht so ganz versatanden, wie kann man denn eine gleichung graphisch darstellen, z.b. die gleichun einer Kugel, wie du sie genannt hast.
Außerdem würde ich gerne wissen was man denn mit den Funktionen macht die man nciht für z=c nach x oder y auflösen kann? gibt es da irgendwelche methoden?
nun habe ich versucht die niveaulinien der funktion z=x²+y² in maple darzustellen, was auch ganz gut geklappt hat. ich möchte jedoch gerne das "niveau" der einzelnen linien(in diesem falle kreise) dazu schreiben. ist dies irgendwie mit maple möglich?
besten dank schonmal im vorraus!
MFG moritz
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:27 Fr 28.01.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Auf der Schule macht man leider keinen Unterschied zwischen dem Graph einer funktion und einer Kurve in der Ebene.
Der Graph der Funktion veranschaulicht nur wie die reelle Zahlengerade auf sich selbst abgebildet wird. dazu zeichnet man als 2. reelle Gerade die y Achse.
Eine Kurve in der Ebene stelltst du dir besser als einen Weg vor,den ein Punkt zurücklegt.
Da gibt man dann zu jedem Zeitpunkt an, wo man sich in der x-y Ebene befindet also z. Bsp: x =2*t [mm] y=-5*t^{2}. [/mm] Das ist die Bahn eines waagerecht abgeworfenen Balls.
Oder der Kreis: x=r*sin(t) y=r*cos(t), wenn du noch z =a*t dazunimmst hast du eine Schraubenlinie, also eine Raumkurve. Kann man in Maple auch malen. t muß natürlich nicht unbedingt die Zeit sein, man nennt es einen Parameter.
Dass man eine Kugel nicht Punkt für Punkt ablaufen kann, ist ja klar. Man braucht dazu 2 Parameter (auf der Erde Längen und Breitenkreise. Damit kann man auch jeden Punkt der Kugel beschreiben. In Kartesischen Koordinaten geht das Wieder mit sin und cos, nur ein bissel komplizierter, weil man jetzt 2 sich ändernde Winkel hat.
Um niveauflächen oder Kurven zu zeichnen gibt es kein einfaches Verfahren. Man muß schlimmstenfalls für jeden Punkt der Zeichenfläche sehen ob er dazu gehört oder nicht.
Ich hoffe, du kannst mit der Erklärung was anfangen
Gruss leduart
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