Darstellung holomorpher Fkt < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei [mm]G:=U_r(0),r>0[/mm] und [mm]f:G \rightarrow \IC[/mm] holomorph so, dass [mm]f(z)=f(\zeta z)[/mm] für alle [mm]z \in \IC[/mm] gilt, wobei [mm]\zeta = e^{2\pi i/n}[/mm] mit [mm]n \in \IN[/mm]. Zeigen Sie, dass es eine holomorphe Funktion [mm]g:G\rightarrow \IC[/mm] gibt mit [mm]f(z)=g(z^n)[/mm] für alle [mm]z \in G[/mm] |
Hallo,
ich bin mir nicht ganz sicher ob ich die Aufgabe richtig verstanden habe...geht es darum zu zeigen, dass man f als eine Potenzreihe darstellen kann? Wär super wenn mir jemand helfen könnte.
Liebe Grüße
couldbeworse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:10 Di 22.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]G:=U_r(0),r>0[/mm] und [mm]f:G \rightarrow \IC[/mm] holomorph so,
> dass [mm]f(z)=f(\zeta z)[/mm] für alle [mm]z \in \IC[/mm] gilt
das soll sicher so lauten: für alle [mm]z \in G[/mm]
> , wobei [mm]\zeta = e^{2\pi i/n}[/mm]
> mit [mm]n \in \IN[/mm]. Zeigen Sie, dass es eine holomorphe Funktion
> [mm]g:G\rightarrow \IC[/mm] gibt mit [mm]f(z)=g(z^n)[/mm] für alle [mm]z \in G[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich bin mir nicht ganz sicher ob ich die Aufgabe richtig
> verstanden habe...geht es darum zu zeigen, dass man f als
> eine Potenzreihe darstellen kann?
Natürlich geht es nicht darum ! Holomorphe Funktionen sind immer als Potenzreihe darstellbar.
> Wär super wenn mir
> jemand helfen könnte.
n ist fest. Was zu zeigen ist steht da: Zeigen Sie, dass es eine holomorphe Funktion $ [mm] g:G\rightarrow \IC [/mm] $ gibt mit $ [mm] f(z)=g(z^n) [/mm] $ für alle $ z [mm] \in [/mm] G $
Was ist daran unklar ?
Tipp: f hat für |z|<r die Potenzreihenentwicklung
[mm] f(z)=\summe_{k=0}^{\infty}a_kz^k.
[/mm]
Nach Vor. ist
[mm] f(z)=\summe_{k=0}^{\infty}a_k*exp(\bruch{2 \pi i k}{n})z^k [/mm] für |z|<k.
Was folgt hieraus aus dem Identitätssatz für Potenzreihen für die Koeffizienten [mm] a_k [/mm] ?
Wenn Du das hast, so zeige: [mm] a_k=0 [/mm] , falls k kein Vielfaches von n ist.
Damit ist
f(z)= [mm] \summe_{j=0}^{\infty}a_{nj}z^{nj}= \summe_{j=0}^{\infty}a_{nj}(z^n)^j [/mm] für |z|<r.
Wie wird nun wohl das gesuchte g zu definieren sein ?
FRED
>
> Liebe Grüße
> couldbeworse
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Vielen Dank, jetzt hab ich es hinbekommen!
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