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Hallo!
Ich weiß, dass gilt: [mm] e=\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^n
[/mm]
Allerdings habe ich absolut keine Idee, wie man auf die Gültigkeit der Gleichung [mm] e^x=\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{x}{n})^n [/mm] kommt. Unser Buch schreibt, diese Aussage würde trivial aus den Potenzgesetzen folgen und müsste deshalb nicht explizit bewiesen werden...
Hat jemand einen Tipp?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:50 Do 02.04.2009 | | Autor: | Fulla |
Hallo Bit2_Gosu,
na ja, aus den Potenzgesetzen folgt das meiner Meinung nach nicht...
Du hast
[mm] $e=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$
[/mm]
Die Gleichung nimmst du "hoch $x$":
[mm] $e^x=\left(\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right)^x$
[/mm]
Jetzt würden wir gerne das $x$ im Exponenten in den Limes reinziehen. Das geht zwar nicht ohne weiteres, aber wir haben Glück: die Funktion [mm] $f(x)=a^x$ [/mm] ist für $a>0$ stetig. In unserem Fall ist $a=e>0$. (Genaueres auf ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia)
Also folgt:
[mm] $e^x=\left(\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right)^x=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{nx}$
[/mm]
Jetzt substituieren wir $m=nx$:
Dann ist [mm] $n=\frac{m}{x}$ [/mm] und statt $n$ geht jetzt [mm] $m\rightarrow\infty$:
[/mm]
[mm] $e^x=\lim_{m\rightarrow\infty}\left(1+\frac{x}{m}\right)^m$
[/mm]
Wenn du willst, kannst du noch das $m$ in $n$ umbenennen.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:05 Do 02.04.2009 | | Autor: | Bit2_Gosu |
Substitution... mensch, warum bin ich nicht darauf gekommen ;)
danke Fulla!
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