Darstellende Matrix < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:02 Di 05.11.2013 | | Autor: | elmanuel |
| Aufgabe | Sei f: [mm] M_n(K) [/mm] (das ist der VR der sym nxn Matrizen über K) -> [mm] M_n(K)
[/mm]
mit f(X)=X*A -A*X (ich nehme an A ist eine bestimmte nxn Matrix)
Berechnen sie die Determinante von f |
Hallo liebe Gemeinde!
ich habe nun versucht die darstellende Matrix von f bzgl. folgender Basis aufzustellen
Sei [mm] P_{xy}=p_{ik} [/mm] die Matrix die an den Stellen [mm] p_{xy}=p_{yx}=1 [/mm] ist und sonst [mm] p_{ik}=0
[/mm]
Dann ist [mm] \{P_{xy} | 1 \le x \le y \le n\} [/mm] meine Basis von f.
nun habe ich die Basisvektoren in die Abbildung geschmissen und erhalte für f(P11), f(P12), ... die Spalten von meiner gesuchten Matrix wobei f(P11) einen Nuller an der Position 1,1 hat. Kann ich somit folgern dass die Determinante 0 sein muss weil ein Diagonaleintrag gleich 0 ist und die Determinante das Produkt der Diagonaleinträge ist? Vermutlich nicht, denn ich habe die Matrix ja nicht auf Zeilenstufenform gebracht...
Beziehungsweise erkenne ich sonst kein System der Spalten f(P11), f(P12), ... erkennen mit dem ich die Matrix vervollständigen kann beziehungsweise in Zeilenstufenform bringen kann.
gibt es vielleicht einen einfacheren Weg die Determinante zu berechnen?
:)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:28 Di 05.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei f: [mm]M_n(K)[/mm] (das ist der VR der sym nxn Matrizen über K)
> -> [mm]M_n(K)[/mm]
> mit f(X)=X*A -A*X (ich nehme an A ist eine bestimmte
> nxn Matrix)
> Berechnen sie die Determinante von f
>
> Hallo liebe Gemeinde!
>
> ich habe nun versucht die darstellende Matrix von f bzgl.
> folgender Basis aufzustellen
>
> Sei [mm]P_{xy}=p_{ik}[/mm] die Matrix die an den Stellen
> [mm]p_{xy}=p_{yx}=1[/mm] ist und sonst [mm]p_{ik}=0[/mm]
> Dann ist [mm]\{P_{xy} | 1 \le x \le y \le n\}[/mm] meine Basis von
> f.
>
> nun habe ich die Basisvektoren in die Abbildung geschmissen
> und erhalte für f(P11), f(P12), ... die Spalten von meiner
> gesuchten Matrix wobei f(P11) einen Nuller an der Position
> 1,1 hat. Kann ich somit folgern dass die Determinante 0
> sein muss weil ein Diagonaleintrag gleich 0 ist und die
> Determinante das Produkt der Diagonaleinträge ist?
> Vermutlich nicht, denn ich habe die Matrix ja nicht auf
> Zeilenstufenform gebracht...
>
> Beziehungsweise erkenne ich sonst kein System der Spalten
> f(P11), f(P12), ... erkennen mit dem ich die Matrix
> vervollständigen kann beziehungsweise in Zeilenstufenform
> bringen kann.
>
> gibt es vielleicht einen einfacheren Weg die Determinante
> zu berechnen?
Ja, es ist z.b. f(E)=0, wobei E die nxn - Einheitsmatrix ist.
Damit ist f nicht injektiv, also auch nicht bijektiv.
Damit ist det(f)= ?
FRED
>
> :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:39 Di 05.11.2013 | | Autor: | elmanuel |
Danke fred !
so geht es natürlich viel einfacher :)
also f ist nicht injektiv weil f(0)=f(E)=0 (wobei E die nxn Einheitsmatrix und 0 die nxn Nullmatrix beschreibt)
somit ist f nicht bijektiv
das ist äquivalent dazu dass die Abbildungsmatrix keinen vollen Rang hat
und das ist wiederum äquivalent dazu dass die Determinante von der Abbildungsmatrix und somit die Determinante von f =0 ist.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:56 Di 05.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Danke fred !
>
> so geht es natürlich viel einfacher :)
>
> also f ist nicht injektiv weil f(0)=f(E)=0 (wobei E die nxn
> Einheitsmatrix und 0 die nxn Nullmatrix beschreibt)
>
> somit ist f nicht bijektiv
> das ist äquivalent dazu dass die Abbildungsmatrix keinen
> vollen Rang hat
> und das ist wiederum äquivalent dazu dass die
> Determinante von der Abbildungsmatrix und somit die
> Determinante von f =0 ist.
So ist es.
FRED
>
> LG
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