Darst. allg. unitärer Matrizen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:16 So 05.12.2010 | | Autor: | lexjou |
| Aufgabe | | Entscheide, ob die Menge M := [mm] \{A \in \IC^{3,3} | AA^{\*} = I_{3} \} [/mm] ein Teilraum des Vektorraums [mm] \IC^{3,3} [/mm] (über [mm] \IC) [/mm] ist, wobei [mm] A^{\*} [/mm] die adjungierte Matrix von A bezeichnet. Falls ja, dann gib eine Basis (mit Begründung) an und bestimme die Dimension dieses Teilraums. |
Mein Ansatz war, dass die Bedingung " [mm] AA^{\*} [/mm] = [mm] I_{3} [/mm] " nur erfüllt werden kann, wenn die Matrix A eine unitäre Matrix ist. Ich habe mich dabei an die Definition " [mm] UU^{\*} [/mm] = [mm] I_{n} [/mm] " gehalten und für den Vektorraum [mm] \IR [/mm] ist es ja so, dass nur eine inverse Matrix multipliziert mit ihrer Matrix die Einheitsmatrix ergeben. Also: " [mm] AA^{-1} [/mm] = [mm] I_{n} [/mm] ".
Dies würde ja nur klappen, wenn A eine Orthogonalmatrix ist, richtig?
Da wir aber in [mm] \IC [/mm] sind ist das Analoge dazu die unitäre Matrix.
Ist das bis dahin schon mal richtig?
Wenn ja:
die unitäre Matrix ist diagonalisierbar! Die Diagonalelemente müssen vom Betrag her 1 sein!
Nun meine Frage: wie kann ich denn eine allgemeine unitäre Matrix darstellen? Denn ich muss ja beweisen, dass es ein Teilraum ist, also muss ich ja mit einer allgemeinen Matrix der oben gegebenen Menge rechnen!
Wäre Folgendes eine Möglichkeit?
[mm] \pmat{ -1 & 0 & 0 \\ 0 & cos(\phi) & -sin(\phi) \\ 0 & sin(\phi) & cos(\phi) } [/mm] mit [mm] \phi \in [0,2\pi[
[/mm]
oder eher:
[mm] \pmat{ z_{1} & -\overline{z_{2}} & -\overline{z_{3}} \\ z_{2} & \overline{z_{1}} & -\overline{z_{2}} \\ z_{3} & z_{2} & -\overline{z_{1}} } [/mm]
Was habe ich denn bis hier her überhaupt schon richtig gemacht? ;)
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Hi,
edit: es geht um Addition. Dann bitte Freds Hinweis beachten.
> Entscheide, ob die Menge M := [mm]\{A \in \IC^{3,3} | AA^{\*} = I_{3} \}[/mm]
> ein Teilraum des Vektorraums [mm]\IC^{3,3}[/mm] (über [mm]\IC)[/mm] ist,
> wobei [mm]A^{\*}[/mm] die adjungierte Matrix von A bezeichnet. Falls
> ja, dann gib eine Basis (mit Begründung) an und bestimme
> die Dimension dieses Teilraums.
> Mein Ansatz war, dass die Bedingung " [mm]AA^{\*}[/mm] = [mm]I_{3}[/mm] "
> nur erfüllt werden kann, wenn die Matrix A eine unitäre
> Matrix ist. Ich habe mich dabei an die Definition " [mm]UU^{\*}[/mm]
> = [mm]I_{n}[/mm] " gehalten und für den Vektorraum [mm]\IR[/mm] ist es ja
> so, dass nur eine inverse Matrix multipliziert mit ihrer
> Matrix die Einheitsmatrix ergeben. Also: " [mm]AA^{-1}[/mm] = [mm]I_{n}[/mm]
> ".
>
> Dies würde ja nur klappen, wenn A eine Orthogonalmatrix
> ist, richtig?
> Da wir aber in [mm]\IC[/mm] sind ist das Analoge dazu die unitäre
> Matrix.
> Ist das bis dahin schon mal richtig?
Ja. Tatsächlich bilden die Matrizen aus M die Unitäre Gruppe bezüglich der Matrixmultiplikation.
>
> Wenn ja:
>
> die unitäre Matrix ist diagonalisierbar! Die
> Diagonalelemente müssen vom Betrag her 1 sein!
>
> Nun meine Frage: wie kann ich denn eine allgemeine unitäre
> Matrix darstellen?
Über eine Basis (mit Matrizen).
> Denn ich muss ja beweisen, dass es ein
> Teilraum ist, also muss ich ja mit einer allgemeinen Matrix
> der oben gegebenen Menge rechnen!
Ja du nimmst A,B aus M und rechnest die Untervektorraumaxiome nach.
>
> Wäre Folgendes eine Möglichkeit?
>
> [mm]\pmat{ -1 & 0 & 0 \\
0 & cos(\phi) & -sin(\phi) \\
0 & sin(\phi) & cos(\phi) }[/mm]
Das ist eine Matrix aus der speziellen Orthogonalengruppe.
> mit [mm]\phi \in [0,2\pi[[/mm]
>
> oder eher:
>
> [mm]\pmat{ z_{1} & -\overline{z_{2}} & -\overline{z_{3}} \\
z_{2} & \overline{z_{1}} & -\overline{z_{2}} \\
z_{3} & z_{2} & -\overline{z_{1}} }[/mm]
[mm]\pmat{ z_{1} & -\overline{z_{2}} & -\overline{z_{3}} \\
z_{2} & z_{4} & -\overline{z_{6}} \\
z_{3} & z_{6} & z_{5} }[/mm]
Diese wohl eher. Hauptdiagonale enthält nur reelle Einträge. Und jetzt fehlt noch die Basis.
[mm]\pmat{ z_{1} &0 &0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 &0 & 0 },\pmat{ 0&\overline{z_{2} } &0 \\
z_{2} & 0 & 0 \\
0 &0 & 0 }[/mm]
>
> Was habe ich denn bis hier her überhaupt schon richtig
> gemacht? ;)
Deine Überlegungen waren gut. Allerdings kommst du nicht um das nachweisen herum. Außer du weißt aus der Vorlesung, das die U(3) eine Untergruppe von der GL(3) ist.
Es geht um die Addition. Siehe fred97's Beitrag.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:33 So 05.12.2010 | | Autor: | lexjou |
Also erstmal Danke für die ausführliche Erklärung!
Quasi lag ich mit meinem Ansatz gar nicht so falsch! Aber da es ja keinen Nullvektor/Nullmatrix enthält, kann es also kein Teilraum sein, hab ich das richtig verstanden?
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Ja. Nocheinmal siehe fred97's Beitrag.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:07 So 05.12.2010 | | Autor: | lexjou |
Super! Danke euch beiden!!! :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:39 So 05.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Enthält M die Nullmatrix ?
FRED
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