Daniell-Stone-Funktional < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:22 Sa 11.05.2019 | | Autor: | TS85 |
| Aufgabe | Seien a,b [mm] \in \IR [/mm] mit a < b.
a) Zeigen Sie, dass die Menge E der beschränkten Funktionen f: [a,b] [mm] \to \IR
[/mm]
eine Elementarfamilie auf [a,b] ist.
b) Für eine Zerlegung a = [mm] x_0 [/mm] < [mm] x_1 [/mm] < ... < [mm] x_n [/mm] = b mit Zwischenstellen [mm] t_k \in [x_{k-1}, x_k] [/mm] betrachten wir die Riemann-Summe
S: E [mm] \to \IR, [/mm] f [mm] \mapsto \summe_{k=1}^{n}(x_k [/mm] - [mm] x_{k-1}) [/mm] * [mm] f(t_k)
[/mm]
Z.z. ist, dass ([a,b],E,S) ein Daniell-Stone-Funktional ist. |
Hallo,
zu a):
Bekannt ist mir nur, dass von Elementarfamilie die Rede ist,
falls E ein Vektorraum ist und mit f und g auch min(f,g), max(f,g) in E sind.
b)
d.h. die beliebige Menge X=[a,b]
E die Elementarfamilie der Funktionen
S = positive stetige Funktional
z.z. ist
1.) [mm] S(\emptyset)=0
[/mm]
2.) A [mm] \subseteq [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] S(A) [mm] \le [/mm] S(B) (Monotonie)
[mm] 3.)\sigma [/mm] - Subadditivität
Das ist nach aktuellem Kenntnisstand auch das einzige, was mir zur Aufgabe bekannt ist. Wie geht es hier weiter?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:34 Sa 11.05.2019 | | Autor: | fred97 |
> Seien a,b [mm]\in \IR[/mm] mit a < b.
>
> a) Zeigen Sie, dass die Menge E der beschränkten
> Funktionen f: [a,b] [mm]\to \IR[/mm]
> eine Elementarfamilie auf
> [a,b] ist.
>
> b) Für eine Zerlegung a = [mm]x_0[/mm] < [mm]x_1[/mm] < ... < [mm]x_n[/mm] = b mit
> Zwischenstellen [mm]t_k \in [x_{k-1}, x_k][/mm] betrachten wir die
> Riemann-Summe
>
> S: E [mm]\to \IR,[/mm] f [mm]\mapsto \summe_{k=1}^{n}(x_k[/mm] - [mm]x_{k-1})[/mm] *
> [mm]f(t_k)[/mm]
>
> Z.z. ist, dass ([a,b],E,S) ein Daniell-Stone-Funktional
> ist.
> Hallo,
>
> zu a):
> Bekannt ist mir nur, dass von Elementarfamilie die Rede
> ist,
> falls E ein Vektorraum ist und mit f und g auch min(f,g),
> max(f,g) in E sind.
Ja, genau das sollst Du zeigen. Es genügt zu zeigen : mit f und g in E und [mm] \alpha \in \IR [/mm] gehören auch f+g, [mm] \alpha [/mm] f, max (f,g) und min (f,g) wieder zu E.
>
> b)
> d.h. die beliebige Menge X=[a,b]
> E die Elementarfamilie der Funktionen
> S = positive stetige Funktional
>
Ja, zu zeigen ist, dass S linear ist, dass S positiv ist (was das genau bedeutet schaust Du nach ) und dass S in einem gewissen Sinne stetig ist ( in welchem Sinne, das siehe ebenfalls in Deinen Unterlagen nach ).
> z.z. ist
> 1.) [mm]S(\emptyset)=0[/mm]
> 2.) A [mm]\subseteq[/mm] B [mm]\Rightarrow[/mm] S(A) [mm]\le[/mm] S(B) (Monotonie)
> [mm]3.)\sigma[/mm] - Subadditivität
Hä, was ist das denn? S ist keine Mengenfunktion !!
>
> Das ist nach aktuellem Kenntnisstand auch das einzige, was
> mir zur Aufgabe bekannt ist. Wie geht es hier weiter?
Ich habe Dir oben gesagt, was zu tun ist.
Dann leg mal los.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:17 Sa 11.05.2019 | | Autor: | TS85 |
Wie genau fange ich denn bei a) an?
Hört sich für mich alles nach Analysis I,II-Wissen an, welches ich nicht mehr weiß.
Bekannt ist mir gerade nur der Beweis der Messbarkeit über die Urbilder eines Intervalles.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:57 Sa 11.05.2019 | | Autor: | fred97 |
> Wie genau fange ich denn bei a) an?
Das habe ich Dir oben doch gesagt.
> Hört sich für mich alles nach Analysis I,II-Wissen an,
a) gehört eher zur Linearen Algebra
> welches ich nicht mehr weiß.
Tja, Pech für die junge sympathische Mannschaft. Wie wäre es mit Auffrischung der Kenntnisse?
Ist es wirklich so schwer nachzuweisen, dass Summem, Max und Min , skalare Vielfache beschränkter Funktionen wieder beschränkt sind ?
> Bekannt ist mir gerade nur der Beweis der Messbarkeit
> über die Urbilder eines Intervalles.
Was soll das ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:58 Sa 11.05.2019 | | Autor: | TS85 |
Wie wird denn gezeigt, dass die Riemann-Summe eine lineare Abbildung ist?
[mm] \mu(f+g)=\mu(f)+\mu(g),
[/mm]
mehr sagt die Vorlesung dazu leider nicht.
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Hiho,
> Wie wird denn gezeigt, dass die Riemann-Summe eine lineare
> Abbildung ist?
>
> [mm]\mu(f+g)=\mu(f)+\mu(g),[/mm]
>
> mehr sagt die Vorlesung dazu leider nicht.
Exakt das ist für die Abbildung zu zeigen, in deiner Aufgabe also, dass gilt:
$S(f+g) = S(f) + S(g)$
mit $ S(f) = [mm] \summe_{k=1}^{n}(x_k [/mm] - [mm] x_{k-1}) [/mm] * [mm] f(t_k) [/mm] $
Jetzt schreib mal $S(f+g)$ hin und $S(f) + S(g)$ und überleg dir, ob/warum die gleich sind.... manchmal kann es so einfach sein.
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:15 So 12.05.2019 | | Autor: | fred97 |
> Wie genau fange ich denn bei a) an?
> Hört sich für mich alles nach Analysis I,II-Wissen an,
> welches ich nicht mehr weiß.
Ich kann es mir nicht verkneifen, aber glaubst Du im Ernst, dass Du als Mathematikstudent einer Vorlesung über Mass und Integrationstheorie folgen kannst, ohne das Wissen aus den Grundlagenvorlesungen?
Du kommst mir vor, wie ein Kfz - Azubi im dritten Lehrjahr, der ssgt: " Meister, ich hab vergessen, was ein Lenkrad ist."
> Bekannt ist mir gerade nur der Beweis der Messbarkeit
> über die Urbilder eines Intervalles.
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