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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - DG 2. Ordnung
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DG 2. Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:02 Fr 22.01.2010
Autor: andi7987

Aufgabe
Beispiel:

y'' + 3y' + 2y = [mm] 4*e^{2*x} [/mm]

y(0) = - 3
y'(0) = 5

So ich habe jetzt folgendes gemacht:

1. Schritt:

[mm] \lambda^{2} [/mm] - [mm] 3*\lambda [/mm] + 2 = 0

[mm] \lambda [/mm] 1;2 = [mm] \bruch{+3 +- 1}{2} [/mm]

[mm] \lambda1 [/mm] = 2
[mm] \lambda2 [/mm] = 1

Lösung: yh = [mm] c1*e^{x} [/mm] + c2 [mm] *e^{2x} [/mm]

2. Schritt:
[mm] 4*e^{2x} [/mm] = 0

yp = [mm] A*x*e^{2x} [/mm]
y'p = (2Ax + A) * [mm] e^{2x} [/mm]
y''p = 4A * (x + 1) * [mm] e^{2x} [/mm]

= [mm] 4Ae^{2x} [/mm] * (x + 1) - 3 * [mm] e^{2x} [/mm] * (2 Ax + A) + 2 * [mm] (Axe^{2x} [/mm] = 4 [mm] e^{2x} [/mm]

Jetzt hab ich es noch ausmultipliziert:

[mm] 4Axe^{2x} [/mm] + [mm] 4Ae^{2x} [/mm] - [mm] 6Axe^{2x} [/mm] - [mm] 3Ae^{2x} [/mm] + [mm] 2Axe^{2x} [/mm] = [mm] 4e^{2x} [/mm]

Dann kann ich die [mm] e^{2x} [/mm] kürzen:

4Ax + 4A - 6Ax - 3A + 2Ax = 4

Dann kürzen sich schon mal alle mit x raus.

Übrig bleibt:

1A = 4

Lösung: A = 4

Das dann oben eingesetzt:

4 [mm] e^{2x} [/mm]


3. Schritt: Zusammenführen von y = yh + yp

y = c1 * [mm] e^{x} [/mm] + [mm] e^{2x} [/mm] + 4 [mm] e^{2x} [/mm]

4. Schritt: Die Randbedingungen ansehen bezüglich Errechnung von c1 und c2!

1. Bedingung: y(0) = -3

-3 = c1 + c2

Lösung: c1 = -3 - c2

2. Bedingung: y'(0) = 5

y'h = 2 * (c2 + 4) * [mm] e^{2x} [/mm] + c1 * [mm] e^{x} [/mm]

5 = 2c2 + 8 + c1

5 = 2c2 + 8 + (-3 - c2)

Lösung: c2 = -5
Lösung: c1 = 2


Endlösung: y = 2 [mm] e^{x} [/mm] - [mm] 5e^{2x} [/mm] + 4 [mm] e^{2x} [/mm]

Ist das richtig?
        
Bezug
DG 2. Ordnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:11 Fr 22.01.2010
Autor: Herby

Hi,

> Beispiel:
>  
> y'' + 3y' + 2y = [mm]4*e^{2*x}[/mm]
>  
> y(0) = - 3
>  y'(0) = 5
>  So ich habe jetzt folgendes gemacht:
>  
> 1. Schritt:
>  
> [mm]\lambda^{2}[/mm] [mm] \red{-}[/mm]  [mm]3*\lambda[/mm] + 2 = 0


oben in der DGL steht ein + und hier ein -

Was ist richtig?


LG
Herby
Bezug
        
Bezug
DG 2. Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:26 Fr 22.01.2010
Autor: Herby

Hi,

> Beispiel:
>  
> y'' + 3y' + 2y = [mm]4*e^{2*x}[/mm]
>  
> y(0) = - 3
>  y'(0) = 5
>  So ich habe jetzt folgendes gemacht:
>  
> 1. Schritt:
>  
> [mm]\lambda^{2}[/mm] - [mm]3*\lambda[/mm] + 2 = 0
>  
> [mm]\lambda[/mm] 1;2 = [mm]\bruch{+3 +- 1}{2}[/mm]
>  
> [mm]\lambda1[/mm] = 2
>  [mm]\lambda2[/mm] = 1
>  
> Lösung: yh = [mm]c1*e^{x}[/mm] + c2 [mm]*e^{2x}[/mm]
>  
> 2. Schritt:
>   [mm]4*e^{2x}[/mm] = 0
>  
> yp = [mm]A*x*e^{2x}[/mm]
>  y'p = (2Ax + A) * [mm]e^{2x}[/mm]
>  y''p = 4A * (x + 1) * [mm]e^{2x}[/mm]
>  
> = [mm]4Ae^{2x}[/mm] * (x + 1) - 3 * [mm]e^{2x}[/mm] * (2 Ax + A) + 2 *
> [mm](Axe^{2x}[/mm] = 4 [mm]e^{2x}[/mm]
>  
> Jetzt hab ich es noch ausmultipliziert:
>  
> [mm]4Axe^{2x}[/mm] + [mm]4Ae^{2x}[/mm] - [mm]6Axe^{2x}[/mm] - [mm]3Ae^{2x}[/mm] + [mm]2Axe^{2x}[/mm] =
> [mm]4e^{2x}[/mm]
>  
> Dann kann ich die [mm]e^{2x}[/mm] kürzen:
>  
> 4Ax + 4A - 6Ax - 3A + 2Ax = 4
>  
> Dann kürzen sich schon mal alle mit x raus.
>  
> Übrig bleibt:
>  
> 1A = 4
>  
> Lösung: A = 4

[daumenhoch]  das stimmt bis hier

  
> Das dann oben eingesetzt:
>  
> 4 [mm]e^{2x}[/mm]
>  
>
> 3. Schritt: Zusammenführen von y = yh + yp
>  
> y = c1 * [mm]e^{x}[/mm] + [mm]e^{2x}[/mm] + 4 [mm]e^{2x}[/mm]
>  
> 4. Schritt: Die Randbedingungen ansehen bezüglich
> Errechnung von c1 und c2!
>  
> 1. Bedingung: y(0) = -3
>  
> -3 = c1 + c2

nein,  [mm] -3=C_1*e^{1*0}+C_2*e^{2*0}+\red{4}*e^{2*0}=C_1+C_2+\red{4} [/mm]


Damit stimmt der Rest auch nicht, aber das Prinzip ist richtig.


Lg
Herby


PS: bitte keine "Endlösungen" hier im Forum anbieten, gelle [grins]
Bezug
                
Bezug
DG 2. Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:57 Fr 22.01.2010
Autor: andi7987

Sorry, in der Angabe ist minus!

y'' - 3y' + 2y = 0

Endlösung war es ja doch wieder keine! :-( :-)

So jetzt nochmals zum Schluß: :-)

y(0) = -3

y = c1 * [mm] e^{x} [/mm] + c2 * [mm] e^{2x} [/mm] + [mm] 4e^{2x} [/mm]

-3 = c1 * [mm] e^{0} [/mm] + c2 * [mm] e^{2*0} [/mm] + 4 * [mm] e^{2*0} [/mm]

-3 = c1 + c2 + 4

-7 = c1 + c2

c1 = -c2 - 7


Dann 2 Ableitung:

y'h = 2 * (c2 + 4) * [mm] e^{2x} [/mm] + c1 * [mm] e^{x} [/mm]

y'(0) = 5

5 = 2 [mm] e^{2*0} [/mm] c2 + 8 [mm] e^{2*0} [/mm] + c1 * [mm] e^{0} [/mm]

5 = 2 c2 + 8 + c1

5 = 2c2 + 8 + (-c2 - 7)

5 = 2 c2 + 8 - c2 - 7

5 = c2 + 1

c2 = 4


c1 = -c2 - 7

c1 = -4 - 7

c1 = -11

Kann des jetzt passen, oder habe ich schon wieder wo einen Stiefel zusammengerechnet?
Bezug
                        
Bezug
DG 2. Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:10 Fr 22.01.2010
Autor: Herby

Hi,

> Sorry, in der Angabe ist minus!
>  
> y'' - 3y' + 2y = 0
>  
> Endlösung war es ja doch wieder keine! :-( :-)
>  
> So jetzt nochmals zum Schluß: :-)
>  
> y(0) = -3
>  
> y = c1 * [mm]e^{x}[/mm] + c2 * [mm]e^{2x}[/mm] + [mm]4e^{2x}[/mm]
>  
> -3 = c1 * [mm]e^{0}[/mm] + c2 * [mm]e^{2*0}[/mm] + 4 * [mm]e^{2*0}[/mm]
>  
> -3 = c1 + c2 + 4
>
> -7 = c1 + c2
>  
> c1 = -c2 - 7
>  
>
> Dann 2 Ableitung:
>  
> y'h = 2 * (c2 + 4) * [mm]e^{2x}[/mm] + c1 * [mm]e^{x}[/mm]
>  
> y'(0) = 5
>  
> 5 = 2 [mm]e^{2*0}[/mm] c2 + 8 [mm]e^{2*0}[/mm] + c1 * [mm]e^{0}[/mm]
>  
> 5 = 2 c2 + 8 + c1
>  
> 5 = 2c2 + 8 + (-c2 - 7)
>  
> 5 = 2 c2 + 8 - c2 - 7
>  
> 5 = c2 + 1
>  
> c2 = 4
>  
>
> c1 = -c2 - 7
>  
> c1 = -4 - 7
>  
> c1 = -11
>  
> Kann des jetzt passen, oder habe ich schon wieder wo einen
> Stiefel zusammengerechnet?  

[daumenhoch]  jetzt passt es


Lg
Herby

Bezug
                                
Bezug
DG 2. Ordnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:12 Fr 22.01.2010
Autor: andi7987

Danke, danke! :-)
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Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


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