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DGL ungleichung: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:48 Do 28.11.2013
Autor: HugATree

Aufgabe
Seien [mm] $a,b,c\in\mathbb{R}$ [/mm] und sei [mm] $\varphi\in\mathcal{C}^1([a,b],\mathbb{R})$ [/mm] mit [mm] $$\varphi'(t)\leq c\varphi(t)\qquad\qquad \mbox{ für alle } t\in [/mm] [a,b].$$
Zeigen Sie, dass dann [mm] $$\varphi(t)\leq\varphi(a)e^{c(t-a)}\quad \mbox{ für alle } t\in[a,b]$$ [/mm]
gelten muss.



Guten Abend,

ich habe versucht diese Aufgabe zu bearbeiten, bin aber bei einigen Sachen unsicher, ob das so richtig/zulässig ist.

Mein Lösungsweg:

Fallunterscheidung:

1. Fall: [mm] $\varphi(a)\neq [/mm] 0$

Mit Trennung der Variablen erhalte ich:

[mm] $\frac{d\varphi}{dt}\leq c*\varphi$ [/mm]
[mm] $\Leftrightarrow \int_{\varphi(a)}^{\varphi(t)}\frac{1}{s}ds=\int_a^t [/mm] dr$
[mm] $\Lefrtrightarrow \ln(\varphi(t))-\ln(\varphi(a))\leq [/mm] c*(t-a)$
[mm] $\Leftrightarrow \varphi(t)\leq \varphi(a)*e^c{(t-a)}$ [/mm]

Hier bin ich mir aber unsicher, da falls gilt [mm] $\varphi(a)<0$, [/mm] ist [mm] $\ln(\varphi(a))$ [/mm] ja gar nicht definiert?
Muss ich hier dann nochmal eine Fallunterscheidung machen?

2.Fall: [mm] $\vaprhi(a)=0$ [/mm]

Aus der Vor. folgt ja: [mm] $\varphi(a)\leq [/mm] 0$.
Somit ist die Steigung von [mm] $\varphi$ [/mm] am Punkt a negativ, also fällt sie an dieser Stelle.
Da [mm] $\varphi'$ [/mm] stetig ist, folgt ja logischerweise, dass [mm] $\varphi(t)\leq [/mm] 0$, also [mm] $\varphi$ [/mm] monoton fallend.
Daraus folgt:

[mm] $\varphi(t)\leq\varphi(a)\leq\varphi(a)*e^{c(t-a)}$ [/mm] für alle [mm] $t\in [/mm] [a,b]$.

Nun weiß ich nicht, wie ich die monotonie mathematisch zeigen soll.

Ich würde mich sehr über Hilfe freuen.

Vielen Dank
HugATree


        
Bezug
DGL ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:00 Fr 29.11.2013
Autor: fred97


> Seien [mm]$a,b,c\in\mathbb{R}$[/mm] und sei
> [mm]$\varphi\in\mathcal{C}^1([a,b],\mathbb{R})$[/mm] mit
> [mm]\varphi'(t)\leq c\varphi(t)\qquad\qquad \mbox{ für alle } t\in [a,b].[/mm]
>  
> Zeigen Sie, dass dann
> [mm]\varphi(t)\leq\varphi(a)e^{c(t-a)}\quad \mbox{ für alle } t\in[a,b][/mm]
>  
> gelten muss.
>  
> Guten Abend,
>  
> ich habe versucht diese Aufgabe zu bearbeiten, bin aber bei
> einigen Sachen unsicher, ob das so richtig/zulässig ist.
>  
> Mein Lösungsweg:
>  
> Fallunterscheidung:
>  
> 1. Fall: [mm]\varphi(a)\neq 0[/mm]
>  
> Mit Trennung der Variablen erhalte ich:
>  
> [mm]\frac{d\varphi}{dt}\leq c*\varphi[/mm]
>  [mm]\Leftrightarrow \int_{\varphi(a)}^{\varphi(t)}\frac{1}{s}ds=\int_a^t dr[/mm]
>  
> [mm]\Lefrtrightarrow \ln(\varphi(t))-\ln(\varphi(a))\leq c*(t-a)[/mm]
>  
> [mm]\Leftrightarrow \varphi(t)\leq \varphi(a)*e^c{(t-a)}[/mm]
>  
> Hier bin ich mir aber unsicher, da falls gilt [mm]\varphi(a)<0[/mm],
> ist [mm]\ln(\varphi(a))[/mm] ja gar nicht definiert?
>  Muss ich hier dann nochmal eine Fallunterscheidung
> machen?
>  
> 2.Fall: [mm]\vaprhi(a)=0[/mm]
>  
> Aus der Vor. folgt ja: [mm]\varphi(a)\leq 0[/mm].
>  Somit ist die
> Steigung von [mm]\varphi[/mm] am Punkt a negativ, also fällt sie an
> dieser Stelle.
>  Da [mm]\varphi'[/mm] stetig ist, folgt ja logischerweise, dass
> [mm]\varphi(t)\leq 0[/mm], also [mm]\varphi[/mm] monoton fallend.
>  Daraus folgt:
>  
> [mm]\varphi(t)\leq\varphi(a)\leq\varphi(a)*e^{c(t-a)}[/mm] für alle
> [mm]t\in [a,b][/mm].
>  
> Nun weiß ich nicht, wie ich die monotonie mathematisch
> zeigen soll.
>  
> Ich würde mich sehr über Hilfe freuen.
>  
> Vielen Dank
>  HugATree
>  


Setze [mm] f(t):=\varphi(t)*e^{-c(t-a)} [/mm]  für t [mm] \in [/mm] [a,b]

Berechne f' und zeige, dass f fallend ist. Dann ist f(a) [mm] \ge [/mm] f(t)  für t [mm] \in [/mm] [a,b].

FRED

Bezug
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