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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - DGL und Substitution
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DGL und Substitution: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:44 Mi 13.05.2009
Autor: Franzie

Aufgabe
Bestimmen Sie mit Hilfe der Substitution [mm] z(x)=u^{-4}(x) [/mm]  alle Lösungen der Differentialgleichung
[mm] u'-u=xu^{5} [/mm]

Hallo ihr Lieben!

Die Gleichung sieht so einfach aus, aber ich krieg es einfach nicht hin.
Hab schon versucht, das [mm] u^{5} [/mm] in [mm] u*u^{4} [/mm] zu zerlegen, damit ich die Substitution anwenden kann. Aber irgendwie hab ich dann immer 3 Variablen drin, nämlich y,z und u.
Was mach ich denn bloß falsch? Mir ist der Sinn dieser Substitution nicht wirklich klar....

liebe Grüße

        
Bezug
DGL und Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:51 Mi 13.05.2009
Autor: MathePower

Hallo Franzie,

> Bestimmen Sie mit Hilfe der Substitution [mm]z(x)=u^{-4}(x)[/mm]  
> alle Lösungen der Differentialgleichung
>  [mm]u'-u=xu^{5}[/mm]
>  Hallo ihr Lieben!
>  
> Die Gleichung sieht so einfach aus, aber ich krieg es
> einfach nicht hin.
>  Hab schon versucht, das [mm]u^{5}[/mm] in [mm]u*u^{4}[/mm] zu zerlegen,
> damit ich die Substitution anwenden kann. Aber irgendwie
> hab ich dann immer 3 Variablen drin, nämlich y,z und u.
> Was mach ich denn bloß falsch? Mir ist der Sinn dieser
> Substitution nicht wirklich klar....


Multipliziere die DGL mit [mm]u^{-5}[/mm]:

[mm]u'{u^{-5}}-u*u^{-5}=xu^{5}*u^{-5}[/mm]

[mm]\Rightarrow u'{u^{-5}}-u^{-4}=x[/mm]

Aus der Substitution [mm]z=u^{-4}[/mm] folgt durch Differentiation

[mm]z'=-4*u^{-5}*u'[/mm]

Daraus ergibt sich die DGL

[mm]-\bruch{1}{4}*z'-z=x[/mm]

Und diese DGL kannst Du jetzt lösen.


>  
> liebe Grüße


Gruß
MathePower

Bezug
                
Bezug
DGL und Substitution: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:26 Mi 13.05.2009
Autor: Franzie

Danke dir. Das hab ich glatt übersehen, dass man das so machen kann.


Bezug
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