DGL mittels Konstanten Vari < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:05 Fr 21.01.2011 | | Autor: | Vertax |
| Aufgabe | Man löse die Differentialgleichungen mittels Variation der Konstanten:
a) [mm]y'-y=e^x[/mm] mit [mm]y(0)= 2[/mm]
c) [mm]y'+4xy=-8x[/mm] mit [mm]y(0) = 3[/mm]
d) [mm]xy'-2y=-x^2[/mm] für [mm]x > 0[/mm] mit [mm]y(1) = 3[/mm] |
Wäre Jemand so freundlich und würde überprüfen ob ich richtig gerechnet habe:
a) [mm]y = (x+2)*e^x[/mm]
c) [mm]y=(-2e^{2x^2}+5)*e^{-2x^2}[/mm]
d) [mm]y=-x^3+4x^2[/mm]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:09 Sa 22.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Man löse die Differentialgleichungen mittels Variation der
> Konstanten:
>
> a) [mm]y'-y=e^x[/mm] mit [mm]y(0)= 2[/mm]
> c) [mm]y'+4xy=-8x[/mm] mit [mm]y(0) = 3[/mm]
> d)
> [mm]xy'-2y=-x^2[/mm] für [mm]x > 0[/mm] mit [mm]y(1) = 3[/mm]
>
> Wäre Jemand so freundlich und würde überprüfen ob ich
> richtig gerechnet habe:
>
> a) [mm]y = (x+2)*e^x[/mm]
Stimmt
> c) [mm]y=(-2e^{2x^2}+5)*e^{-2x^2}[/mm]
Stimmt nicht
>
> d) [mm]y=-x^3+4x^2[/mm]
Stimmt
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:58 Sa 22.01.2011 | | Autor: | Vertax |
Mh ok dann mal meine c) :
y'+4xy=-8x
[mm]\frac{dy}{dx}=-4xy [/mm]|*dx;:y
[mm]\frac{dy}{y}=-4x dx [/mm]|Integral
[mm]ln(y) = -2x^2+C [/mm]| e
[mm]y = e^{-2x^2+C} = e^{-2x^2}*e^C = e^{-2x^2}*k[/mm]
[mm]y = z(x) * e^{-2x^2}[/mm]
[mm] y' = z' * e^{-2x^2}+z*e^{-2x^2}*-4x[/mm]
[mm]+ (-4xy = -z*e^{-2x^2}*-4x)[/mm]
-------------------------------------------
[mm] y'-4xy = z' * e^{-2x^2}[/mm]
[mm]z' * e^{-2x^2} = -8x | * e^{2x^2}[/mm] | Integral bilden
[mm]z = \integral{-8x*e^{2x^2} dx}[/mm]
[mm]z = -2e^{2x^2}+C[/mm]
z Einsetzen:
[mm]y=(-2e^{2x^2}+C)*e^{-2x^2}[/mm]
C bestimmen:
3 = [mm] (-2*e^{2*0^2}+c)*e^{-2x^2}
[/mm]
3 = -2+C | +2
5 = C
|
|
|
| |
|
Hallo Vertax,
> Mh ok dann mal meine c) :
> y'+4xy=-8x
>
> [mm]\frac{dy}{dx}=-4xy [/mm]|*dx;:y
>
> [mm]\frac{dy}{y}=-4x dx [/mm]|Integral
>
> [mm]ln(y) = -2x^2+C [/mm]| e
Erstmal linkerhand [mm] $\ln(|y|)$; [/mm] den Betrag wirst du im weiteren durch geeignete Wahl der Konstante rechterhand los ...
>
> [mm]y = e^{-2x^2+C} = e^{-2x^2}*e^C = e^{-2x^2}*k[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
homogene Lösung stimmt!
>
> [mm]y = z(x) * e^{-2x^2}[/mm]
Aber warum [mm]z(x)[/mm] und nicht [mm]k(x)[/mm] ?
>
> [mm]y' = z' * e^{-2x^2}+z*e^{-2x^2}*-4x[/mm]
> [mm]+ (-4xy = -z*e^{-2x^2}*-4x)[/mm]
>
> -------------------------------------------
> [mm]y'-4xy = z' * e^{-2x^2}[/mm]
>
> [mm]z' * e^{-2x^2} = -8x | * e^{2x^2}[/mm] | Integral bilden
>
> [mm]z = \integral{-8x*e^{2x^2} dx}[/mm]
> [mm]z = -2e^{2x^2}+C[/mm]
Hier kannst du die Konstante als [mm]C=0[/mm] wählen, du benötigst nur eine partikuläre Lösung!
>
> z Einsetzen:
Wo genau?
> [mm]y=(-2e^{2x^2}+C)*e^{-2x^2}[/mm]
Das setzt du in [mm]y_p(x)=z(x)\cdot{}e^{-2x^2}[/mm] ein ...
Das gibt [mm]y_p(x)=\underbrace{-2e^{2x^2}}_{z(x)}\cdot{}e^{-2x^2}=-2[/mm]
Mit [mm]y_h=k\cdot{}e^{-2x^2}[/mm] ist also die allg. Lösung:
[mm]y=y_h+y_p=ke^{-2x^2}-2[/mm]
Nun mit der AB das k bestimmen, gibt auch [mm]k=5[/mm]
Also Lösung mit AB: [mm]y:\IR\to\IR, x\mapsto 5e^{-2x^2}-2[/mm]
>
> C bestimmen:
>
> 3 = [mm](-2*e^{2*0^2}+c)*e^{-2x^2}[/mm]
> 3 = -2+C | +2
> 5 = C
Ich kann keinen Fehler entdecken, habe am Schluss aber nicht ganz nachvollziehen können, was du genau wo eingesetzt hast.
Darum hab ich's nochmal hingeschrieben ...
Außerdem solltest du auf deine Variablenvergabe achten, [mm]c[/mm] ist bei dir doppelt vergeben, aus k wird z ...
Das ist nicht so ganz konsistent, aber die Rechnung stimmt.
Beachte, wie ich die Lösung aufgeschrieben habe.
Es gehört immer der Def.bereich dazu ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:29 Sa 22.01.2011 | | Autor: | Vertax |
Ja keine Ahnung de Prof aus de Uni hat uns das nach diesem Schema erklärt.
Mit z einsetzen meinte ich : Das setzt du in $ [mm] y_p(x)=z(x)\cdot{}e^{-2x^2} [/mm] $ ein ...
Ich wollte nur nochmal meine Rechnung überprüfen lassen, da Fred97 meinte C stimmt nicht.
|
|
|
|
