DGL mit Betragsfkt. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:48 Di 03.05.2005 | | Autor: | Crispy |
Hallo,
ich kämpfe gerade mit seltsamen DGL mit der Betragsfunktion.
1. Bestimmen Sie die Lösung der Anfangswertaufgabe
[mm]x'=|x|[/mm] mit [mm]x(0)=x_0[/mm]
in Abhängigkeit von [mm]x_0 \in \IR[/mm] und skizzieren sie das Lösungsportrait.
2. Bestimmen Sie die allg. Lösung der DGL
[mm]x'=3 |x|^{2/3}[/mm]
Ich weiß bei beiden Aufgaben keinen Ansatz, wie man mit der Betragsfunktion umgeht.
Hat hier jemand eine Idee?
Danke, Crispy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:17 Di 03.05.2005 | | Autor: | dorsdn |
> Hallo,
> ich kämpfe gerade mit seltsamen DGL mit der
> Betragsfunktion.
>
> 1. Bestimmen Sie die Lösung der Anfangswertaufgabe
> [mm]x'=|x|[/mm] mit [mm]x(0)=x_0[/mm]
> in Abhängigkeit von [mm]x_0 \in \IR[/mm] und skizzieren sie das
> Lösungsportrait.
>
> 2. Bestimmen Sie die allg. Lösung der DGL
> [mm]x'=3 |x|^{2/3}[/mm]
>
> Ich weiß bei beiden Aufgaben keinen Ansatz, wie man mit der
> Betragsfunktion umgeht.
> Hat hier jemand eine Idee?
>
> Danke, Crispy
Gudn Tag, Crispy
mein erste Gedanke ist eine Fallunterscheidung für x> und x<0 zu machen. Die Bedeutung des "Betrages" ist, dass f(x) für diese Gleichung stets eine natürliche Zahl oder '0' ergeben muss.......
bis bald, dorsdn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:18 Di 03.05.2005 | | Autor: | Crispy |
> Gudn Tag, Crispy
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> mein erste Gedanke ist eine Fallunterscheidung für x> und
> x<0 zu machen. Die Bedeutung des "Betrages" ist, dass f(x)
> für diese Gleichung stets eine natürliche Zahl oder '0'
> ergeben muss.......
Hallo,
Fallunterscheidung ist schon mal gut. x ist hier aber keine Zahl sondern eine Funktion - besser: x(t). x(t) muss auch nicht unbedingt eine natürliche Zahl sein, sondern ist wohl beliebig aus [mm] \IR.
[/mm]
Lösungsansatz:
Für [mm]x_0 \ge 0[/mm]: [mm]x(t)=x_0 \cdot e^t[/mm]
Für [mm]x_0 < 0[/mm]: [mm]x(t)=x_0 \cdot e^{-t}[/mm]
Ist das dann korrekt?
Fragende Grüsse, Crispy
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Hi Crispy,
richtig ist das schon (kannst Du selber durch Einsetzen in die Dgl sehen), aber die Lösungen [mm] $\red{x(t)=\begin{cases} -x_0\,e^{-t}, & \mbox{für } x0\ge 0 \\ -x_0\,e^t, & \mbox{für } x0<0 \end{cases}}$ [/mm] fehlen.
Du kannst die Möglichkeiten auch mit [mm] $\red{abs(x_0)}$ [/mm] anders formulieren (wenn Du magst).
Grüße,
Peter
P.S.: Die rot markierte Passage ist Dünnsinn; siehe Crispys Rückfrage und mein "oops".
Peter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:19 Di 03.05.2005 | | Autor: | Crispy |
> Hi Crispy,
>
> richtig ist das schon (kannst Du selber durch Einsetzen in
> die Dgl sehen), aber die Lösungen [mm]x(t)=\begin{cases} -x_0\,e^{-t}, & \mbox{für } x0\ge 0 \\ -x_0\,e^t, & \mbox{für } x0<0 \end{cases}[/mm]
> fehlen.
Hallo Peter , das ist ja zunächst schön, dass es richtig ist.
Aber, aus den 2 weiteren Lösungen, die du angegaben hast, werde ich nicht so recht schlau.
Die Anfangsbedingung lautet [mm]x(0)=x_0[/mm].
Bei deinen Lösungen gilt aber [mm]x(0)=-x_0[/mm], oder übersehe ich da gerade etwas?
Auf jedenfall schon mal Danke,
Crispy
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Äh ![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]") ja...
ich hatte mich so sehr darauf konzentriert, dass die Dgl ohne Anfangsbed. erfüllt ist, dass ich die ganz vergessen habe.
Sorry
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 13:16 Di 03.05.2005 | | Autor: | Floyd |
hallo!
man kann hier ganz einfach die fallunterscheidungen vermeiden indem man folgendes macht:
y' = 3 [mm] |y|^{2/3}
[/mm]
<=>
y' = 3 * [mm] (y^{2})^{1/3}
[/mm]
dann Trennung der Variablen
dy/dx = 3 [mm] y^{2/3}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{} [/mm] { [mm] 1/(3y^{2/3}) [/mm] dy} = [mm] \integral_{}^{} [/mm] { dx}
[mm] y^{1/3} [/mm] = x + c
y = [mm] (x+c)^{1/3}
[/mm]
fertig
und das erste bsp geht analog!
mfg
Floyd
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:27 Di 03.05.2005 | | Autor: | Crispy |
Hallo,
> man kann hier ganz einfach die fallunterscheidungen
> vermeiden indem man folgendes macht:
>
> y' = 3 [mm]|y|^{2/3}[/mm]
> <=>
> y' = 3 * [mm](y^{2})^{1/3}[/mm]
>
> dann Trennung der Variablen
>
> dy/dx = 3 [mm]y^{2/3}[/mm]
Dies ist aber wieder die ursprüngliche Funktion ohne Betrag.
Dein Beweis kann ich leider nicht nachvollziehen.
Denn dein [mm]y'= 1/ (3 \cdot (x+c)^{2/3})[/mm]
Dies löst nicht die Differentialgleichung.
Trotzdem Danke für die Hilfe,
Crispy
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