DGL mit Ansatz Inhomogenität < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm]y'-2y=(x+2)*exp(2x)[/mm] |
Hallo,
ich soll für verschiedene DGLs die allgemeine Lösung mittels dem Ansatz vom Typ der Inhomogenität lösen.
Dazu habe ich von der obigen DGL den Partikulärteil: [mm](x+2)*exp(2x) [/mm]genommen. Mit diesem habe ich versucht eine Ansatzfunktion herzuleiten.
Im Skript steht:
Wenn g(x) wie folgt aussieht:
[mm]g(x) = exp(λx)*(a_1 \cos(bx) + a_2 \sin(bx))*\sum_{k=0}^{n} c_k*x^k[/mm]
dann ist [mm] y_p(x) [/mm] so zu wählen:
[mm]y_p(x) = exp(λx)*(a_1 \cos(bx) + a_2 \sin(bx))*\sum_{k=0}^{n-1} c_k*x^k + x^n[/mm]
In meinem Beispiel ist [mm]g(x)=(x+2)*exp(2x)[/mm]^=> n=1
=> [mm]y_p(x)=(c_0+x)*exp(2x)[/mm]
Leider muss aber [mm]y_p=x*(c_0 + c_1x)*exp(2x)[/mm] sein.
Ich verstehe dass nicht. Meiner Meinung nach müsste für diesen Ansatz n=2 sein. Außerdem darf doch nach obiger Formel vor dem höchsten x-Exponenten kein [mm] a_n [/mm] stehen?
Ich wäre für eine kurze Erklärung daher dankbar.
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Hallo brockerdocker,
> [mm]y'-2y=(x+2)*exp(2x)[/mm]
> Hallo,
> ich soll für verschiedene DGLs die allgemeine Lösung
> mittels dem Ansatz vom Typ der Inhomogenität lösen.
>
> Dazu habe ich von der obigen DGL den Partikulärteil:
> [mm](x+2)*exp(2x) [/mm]genommen. Mit diesem habe ich versucht eine
> Ansatzfunktion herzuleiten.
>
> Im Skript steht:
>
> Wenn g(x) wie folgt aussieht:
> [mm]g(x) = exp(λx)*(a_1 \cos(bx) + a_2 \sin(bx))*\sum_{k=0}^{n} c_k*x^k[/mm]
>
> dann ist [mm]y_p(x)[/mm] so zu wählen:
>
> [mm]y_p(x) = exp(λx)*(a_1 \cos(bx) + a_2 \sin(bx))*\sum_{k=0}^{n-1} c_k*x^k + x^n[/mm]
>
> In meinem Beispiel ist [mm]g(x)=(x+2)*exp(2x)[/mm]^=> n=1
> => [mm]y_p(x)=(c_0+x)*exp(2x)[/mm]
>
> Leider muss aber [mm]y_p=x*(c_0 + c_1x)*exp(2x)[/mm] sein.
>
> Ich verstehe dass nicht. Meiner Meinung nach müsste für
> diesen Ansatz n=2 sein. Außerdem darf doch nach obiger
> Formel vor dem höchsten x-Exponenten kein [mm]a_n[/mm] stehen?
Zunächst einmal ist der Ansatz entsprechend der Störfunktion zu wählen:
[mm]\left(c_{0}+c_{1}*x\right)*e^{2x}[/mm]
Ist die Störfunktion oder ein Glied von ihr zugleich Lösung der homogenen DGL
[mm]y'-2y=0[/mm]
so ist der Ansatz mit x zu multiplizieren.
Daher also
[mm]y_{p}\left(x\right)=x*\left(c_{0}+c_{1}*x\right)*e^{2x}[/mm]
>
> Ich wäre für eine kurze Erklärung daher dankbar.
>
Gruss
MathePower
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Vielen Dank für die schnelle Antwort!
Jetzt würde mich nur noch interessieren, was dann z.B. der Ansatz bei folgendem Störterm ist:
[mm]g(x)=(x^2+1)*exp(2x) DGL: y'-2y=(x^2+1)*exp(2x)[/mm]
Ist das dann [mm]y_p(x)=(a_0 x^2+a_1 x +a_2)*exp(2x)*x[/mm] ?
Muss man also trotzdem ein [mm] a_1 [/mm] x mitschreiben?
Und [mm]y'-2y=(x+1)[/mm] hat dann aber
[mm] y_p=(a_0+a_1 [/mm] x) als Lösung, oder?
Vielen Dank schon mal,
Viele Grüße brockerdocker
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Hallo brockerdocker,
> Vielen Dank für die schnelle Antwort!
> Jetzt würde mich nur noch interessieren, was dann z.B. der
> Ansatz bei folgendem Störterm ist:
> [mm]g(x)=(x^2+1)*exp(2x) DGL: y'-2y=(x^2+1)*exp(2x)[/mm]
>
> Ist das dann [mm]y_p(x)=(a_0 x^2+a_1 x +a_2)*exp(2x)*x[/mm] ?
Ja, das ist richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Muss man also trotzdem ein [mm]a_1[/mm] x mitschreiben?
>
> Und [mm]y'-2y=(x+1)[/mm] hat dann aber
>
> [mm]y_p=(a_0+a_1[/mm] x) als Lösung, oder?
Auch das stimmt.
>
> Vielen Dank schon mal,
> Viele Grüße brockerdocker
Gruss
MathePower
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OK, dann denke ich habe ich das Prinzip verstanden. Vielen Dank nochmal,
gruß brockerdocker
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