DGL mit Anfangsbedingung < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Lösung von x°1 (x1 Punkt) = 4x1 + x2
x°2 = -x1 + 2x2
mit der Anfangsbedingung (x1(0), x2(0)) = (0, 1). |
Ich hab keine Ahnung, wie ich da vorgehen muss, weil ich die letzten Vorlesungen nicht da war. Wär toll, wenn mir jemand so schnell wie mögich antwortet. Danke schonmal im Voraus!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Formulieren wir dein Problem mal etwas um. Sei dazu
[mm]A=\pmat{ 4 & 1 \\ -1 & 2 }[/mm]
Damit lässt sich das Gleichungssystem
[mm]\dot x_1 = 4x_1 + x_2[/mm]
[mm]\dot x_2 = -x_1 + 2x_2[/mm]
schreiben als (x hier als Vektor)
[mm]\dot x = Ax[/mm]
Die allgemeine Lösung ähnelt der im eindimensionalen Fall:
[mm]x = c e^{At} [/mm]
Bleibt das Problem, dass eine Matrix im Exponenten steht. Wie man das jetzt technisch löst, findest du ![[]](/images/popup.gif) hier und etwas weiter unten auf derselben Seite.
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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Lösung von $ [mm] \dot x_1 [/mm] = [mm] 4x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] $
$ [mm] \dot x_2 [/mm] = [mm] -x_1 [/mm] + [mm] 2x_2 [/mm] $
mit der Anfangsbedingung ($ [mm] x_1 [/mm] $ (0), $ [mm] x_2 [/mm] $ (0)) = (0,1) |
Danke erstmal für die schnelle Antwort. Leider komm ich immer noch nicht arg viel weiter, die Erklärung versteh ich nämlich nicht.
Ich hab jetzt mal die Eigenwerte berechnet und den doppelten Eigenwert 3 erhalten. Was fang ich jetzt damit an? Wahrscheinlich stell ich mich total blöd an, aber ich hab immer noch kein Plan. Wie muss ich denn jetzt weitermachen? Was mache ich später mit der Anfangsbedingung?
Danke für die Hilfe!!!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:17 Do 20.12.2007 | | Autor: | max3000 |
Hi.
Den Ansatz von generation...x kann ich dir eigentlich nicht empfehlen.
Ich persönlich bevorzuge den Ansatz
[mm] y_i(t)=e^{\lambda_i}t*c_i
[/mm]
Wobei [mm] \lambda_i [/mm] Eigenwerte und [mm] c_i [/mm] die dazugehörigen Eigenvektoren sind.
Den Eigenwert sagtest du hast du, dann suche mal 2 linear unabhängige Eigenvektoren, wenn das denn möglich ist.
Dann hast du 2 Lösungen [mm] y_1(t) [/mm] und [mm] y_2(t), [/mm] die eine Lösungsbasis ergeben.
Jetzt hast du mit [mm] y(t)=a_1y_1(t)+a_2y_2(t) [/mm] unendlich viele Lösungen.
Mit der Anfangswertbedingung, kannst du jetzt aber die Lösung finden, die auch durch deinen Anfangspunkt verläuft. Dadurch kannst du die Konstanten [mm] a_1 [/mm] und [mm] a_2 [/mm] berechnen.
Reicht das als Hilfe?
Gruß
Max
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| Aufgabe | | Eigenvektoren zu A = [mm] \pmat{ 4 & 1 \\ -1 & 2 } [/mm] (doppelter Eigenwert ist 3) |
Vielen Dank, Max.
Das Prinzip hab ich verstanden. Jetzt hab ich nur noch das Problem, die Eigenvektoren berechnen zu müssen. Na ja, das berechne ich doch so:
(A - [mm] \lambda [/mm] E) * (x) = 0 mit [mm] \lambda_{1,2} [/mm] = 3, oder?
Dann bekomm ich nämlich raus:
[mm] \pmat{ 1 & 1 \\ -1 & -1 } [/mm] * [mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2}} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0}
[/mm]
Also das LGS
[mm] x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] = 0
[mm] -x_{1} [/mm] - [mm] x_{2} [/mm] = 0
Und dann gilt für die Eigenvektoren [mm] x_{1} [/mm] = [mm] -x_{2} [/mm] und davon gibt es ja unendlich viele, aber keine 2 linear unabhängigen.
Und genau hier komm ich bei deiner Erklärung nicht weiter.
Wär nett, wenn du mir auch noch hier helfen könntest. Danke!!!
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Hallo,
als mathematischer Laie kann ich zwar keine Erklärung liefern, aber in meiner Formelsammlung (Papula) steht für eine DGL 2. Ordnung, deren charakteristische Gleichung eine doppelte Lösung (3) hat, als Lösungsansatz:
[mm] $x_1 [/mm] = [mm] (C_1*t [/mm] + [mm] C_2)*e^{3*t}$
[/mm]
Für [mm] x_2 [/mm] hab ich dann raus
[mm] $x_2 [/mm] = [mm] (C_1-C_2-C_1*t)*e^{3*t}$
[/mm]
Um die Konstanten [mm] C_1 [/mm] und [mm] C_2 [/mm] zu bestimmen, musst Du in die Gleichungen nur noch die Anfangswerte für t und [mm] x_1 [/mm] bzw. [mm] x_2 [/mm] einsetzen.
LG, Martinius
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