DGL lösen mit Fouriertrafo < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:56 Mi 15.12.2010 | | Autor: | kuchen85 |
| Aufgabe | | lösen sie die DGL : y''+4*y'+4*y = [mm] e^{-2x} [/mm] mittels Fouriertransformation |
Hallo zusammen,
wie kann man die oben genannte DGL mittels Fouriertransformation lösen? Unser Ansatz wäre:
[mm] Y(w)=\bruch{4}{(4+w^2)(4jw-w^2+4)}
[/mm]
[mm] Y(t)=\bruch{1}{2\pi}*\integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{4}{(4+w^2)(4jw-w^2+4)}*e^{jwt} dw}
[/mm]
gibt es einen einfacheren Weg als das Integral?
danke schon mal
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Hallo kuchen85,
> lösen sie die DGL : y''+4*y'+4*y = [mm]e^{-2x}[/mm] mittels
> Fouriertransformation
> Hallo zusammen,
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> wie kann man die oben genannte DGL mittels
> Fouriertransformation lösen? Unser Ansatz wäre:
> [mm]Y(w)=\bruch{4}{(4+w^2)(4jw-w^2+4)}[/mm]
>
> [mm]Y(t)=\bruch{1}{2\pi}*\integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{4}{(4+w^2)(4jw-w^2+4)}*e^{jwt} dw}[/mm]
>
> gibt es einen einfacheren Weg als das Integral?
Um das jetzt zu lösen, mußt Du den Residuenssatz anwenden.
Bestimme zunächst Lösungen der Gleichung
[mm](4+w^2)(4jw-w^2+4)=0[/mm]
Hier sind nur die Lösungen interessant, deren Imaginärteil größer 0 ist.
>
> danke schon mal
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:42 Mi 15.12.2010 | | Autor: | joghurt02 |
Danke erst mal für die schnelle Antwort.
$ [mm] (4+w^2)(4jw-w^2+4)=0 [/mm] $
also [mm] w_{1,2,3,4} [/mm] = 2j
also $ [mm] Y(t)=\bruch{1}{2\pi}\cdot{}\integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{4}{(w-2j)^4}\cdot{}e^{jwt} dw} [/mm] $
Und wie jetzt weiter? (tut mir leid, bei Funktionentheorie sieht's dünn aus bei mir...)
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Hallo joghurt02,
> Danke erst mal für die schnelle Antwort.
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> [mm](4+w^2)(4jw-w^2+4)=0[/mm]
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> also [mm]w_{1,2,3,4}[/mm] = 2j
[mm]w^{2}+4=0[/mm] hat eine einfache Nullstelle w=2j[/mm]
Die andere Nullstelle lautert [mm]w=-2*j[/mm]
>
> also
> [mm]Y(t)=\bruch{1}{2\pi}\cdot{}\integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{4}{(w-2j)^4}\cdot{}e^{jwt} dw}[/mm]
Dann gilt:
[mm]Y(t)=\bruch{1}{2\pi}\cdot{}\integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{4}{\left(w+2j\right)*\left(w-2j\right)^{3}}\cdot{}e^{jwt} dw}[/mm]
>
> Und wie jetzt weiter? (tut mir leid, bei Funktionentheorie
> sieht's dünn aus bei mir...)
Es gilt: dann:
[mm]\bruch{1}{2\pi}\cdot{}\integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{4}{\left(w+2j\right)*\left(w-2j\right)^{3}}\cdot{}e^{jwt} dw}=\bruch{1}{2*\pi\right)*2*\pi*j*\summe_{w \in H}^{}\operatorname{res}_{w}{{\bruch{4}{\left(w+2j\right)*\left(w-2j\right)^{3}}\cdot{}e^{jwt}}
}[/mm]
,wobei H die obere Halbebene ist.
Gruss
MathePower
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