DGL integrierender Faktor < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:28 Sa 15.11.2014 | | Autor: | Trikolon |
| Aufgabe | Betrachten die DGL
y(2x-y-1)+x(2y-x-1)y'=0
Bestimme für diese Gleichung einen integrierenden Faktor m, für den gilt: m(x,y)=m(x+y).
Leiten sie dazu aus der Integrabilitätbedingung eine lineare DGL für den integrierenden Faktor her. Bestimme m.H. dieser linearen DGL einen integrierenden Faktor. |
Es ist hier ja [mm] a(x,y)=2xy-y^2-y [/mm] und [mm] b(x,y)=2xy-x^2-x
[/mm]
Also ist die Gleichung nicht exakt, da 2y-2x-1 [mm] \not= [/mm] 2x-2y-1.
Gesucht ist ein nur von z:=x+y abhängender Multiplikator m=m(z), Für einen solchen Faktor ist [mm] m_x(x,y)=m_y(x,y)=m'(z) [/mm] (ist dies die Integrabilitätsbedingung??)
--> [mm] ((2xy-y^2-y)-(2xy-x^2-x))m'=m((2y-2x-1)-(2x-2y-1))
[/mm]
--> [mm] m'(z)/m(z)=\bruch{-4}{z+1}
[/mm]
Muss ich jetzt diese DGL lösen?
Wie setze ich hier an?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:00 Sa 15.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Betrachten die DGL
> y(2x-y-1)+x(2y-x-1)y'=0
>
> Bestimme für diese Gleichung einen integrierenden Faktor
> m, für den gilt: m(x,y)=m(x+y).
> Leiten sie dazu aus der Integrabilitätbedingung eine
> lineare DGL für den integrierenden Faktor her. Bestimme
> m.H. dieser linearen DGL einen integrierenden Faktor.
> Es ist hier ja [mm]a(x,y)=2xy-y^2-y[/mm] und [mm]b(x,y)=2xy-x^2-x[/mm]
>
> Also ist die Gleichung nicht exakt, da 2y-2x-1 [mm]\not=[/mm]
> 2x-2y-1.
>
> Gesucht ist ein nur von z:=x+y abhängender Multiplikator
> m=m(z), Für einen solchen Faktor ist
> [mm]m_x(x,y)=m_y(x,y)=m'(z)[/mm] (ist dies die
> Integrabilitätsbedingung??)
> --> [mm]((2xy-y^2-y)-(2xy-x^2-x))m'=m((2y-2x-1)-(2x-2y-1))[/mm]
> --> [mm]m'(z)/m(z)=\bruch{-4}{z+1}[/mm]
>
> Muss ich jetzt diese DGL lösen?
Ja
> Wie setze ich hier an?
Die DGL [mm] $m'=\bruch{-4}{z+1}*m$ [/mm] ist eine lineare DGL 1. Ordnung.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:58 Sa 15.11.2014 | | Autor: | Trikolon |
Super, dankeschön! Jetzt hab ichs.
|
|
|
|
