DGL Skalarprodukt < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 08:05 Do 29.12.2011 | | Autor: | Harris |
| Aufgabe | Es sei [mm] $v:\IR^n\rightarrow\IR^n$ [/mm] ein [mm] $C^\infty$-Vektorfeld [/mm] mit $<v(x),x>=0$ für alle $x$ mit $||x||=1$. [mm] ($<\cdot,\cdot>$ [/mm] ist das übliche Skalarprodukt). Beweisen Sie, dass jede maximale Lösung von
[mm] $\frac{dx}{dt}=v(x)$ [/mm] mit $||x(0)||=1$
auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] definiert ist und stets $||x(t)||=1$ erfüllt. |
Hi!
Mein Lösungsansatz ist irgendwie unzureichend. Erst will ich das Verhalten der Funktion $<v(x),x>$ betrachten:
$<v(x),x>'=<(v(x))',x>+<v(x),x'>=<<v'(x),x'>,x>+<v(x),v(x)>$
Nun wäre $<v'(x),x'>=x''$, aber wer sagt mir, dass $x$ zweimal differenzierbar ist? Irgendwie stehe ich auf dem Schlauch.
Hat jemand von euch ne Idee?
Gruß, Harris
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:20 Do 29.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Es sei [mm]v:\IR^n\rightarrow\IR^n[/mm] ein [mm]C^\infty[/mm]-Vektorfeld mit
> [mm]=0[/mm] für alle [mm]x[/mm] mit [mm]||x||=1[/mm]. ([mm]<\cdot,\cdot>[/mm] ist das
> übliche Skalarprodukt). Beweisen Sie, dass jede maximale
> Lösung von
> [mm]\frac{dx}{dt}=v(x)[/mm] mit [mm]||x(0)||=1[/mm]
> auf ganz [mm]\IR[/mm] definiert ist und stets [mm]||x(t)||=1[/mm] erfüllt.
> Hi!
>
> Mein Lösungsansatz ist irgendwie unzureichend. Erst will
> ich das Verhalten der Funktion [mm][/mm] betrachten:
>
> [mm]'=<(v(x))',x>+=<,x>+[/mm]
>
> Nun wäre [mm]=x''[/mm], aber wer sagt mir, dass [mm]x[/mm] zweimal
> differenzierbar ist?
Wir haben (*) $x'(t)=v(x(t))$
v ist differenzierbar und x ist differenzierbar, dann sagt die Kettenregel im Zusammenhang mit (*): x' ist differenzierbar. Somit ist x zweimal differenzierbar.
FRED
>Irgendwie stehe ich auf dem Schlauch.
>
> Hat jemand von euch ne Idee?
>
> Gruß, Harris
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:20 Sa 31.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
