DGL Potenzreihenentwicklung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:44 Do 07.07.2011 | | Autor: | cruemel |
| Aufgabe | Betrachten Sie die DGL [mm] $t^2 \dot{x} [/mm] + x = t$ mit der Anfangsbedingung $x(0)=0$. [mm] ($\dot{x} [/mm] = [mm] \frac{dx}{dt}$)
[/mm]
Zeigen Sie:
a) Es gibt eine Lösung durch eine formale Potenzreihe $x=P(t)$.
b) Es gibt keine analytische Lösung
c) Es gibt unendliche viele unendlich oft reell differenzierbare Lösungen, deren Taylorreihe in $t=0$ stets die Reihe $P(t)$ ist. |
Hallo Alle zusammen,
ich bin wiedermal überfragt, daher wäre ich sehr dankbar um jegliche Unterstützung!!!
a) Ich löse nach [mm] $\dot{x}$ [/mm] auf: [mm] $\dot{x}= \frac{1}{t} [/mm] - [mm] \frac{1}{t^2}$ [/mm] und sehe, dass alle Koeffizentenfunktionen in 0 zu Potenzreihen entwickelbar sind. Reicht das?
b) Hier weiß ich nicht mal wie ich anfangen soll :-(
c) Muss ich hierzu die Potenzreihenentwicklung vornehmen und die Antwort dann an der Potenzreihendarstellung der Lösung ablesen?
Kann mir jemand von euch helfen?
Vielen Dank schon mal
crümel
PS: Falls es jemanden interessiert, es handelt sich hier um eine Staatsexamensaufgabe (FJ 2007)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:54 Do 07.07.2011 | | Autor: | fred97 |
Für eine Lösung x mache den Ansatz
[mm] $x(t)=\summe_{n=1}^{\infty}a_nt^n$.
[/mm]
Gehe damit in die DGL ein und schau, was Du über die Koeffizienten [mm] a_n [/mm] herausbekommst.
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:02 Do 07.07.2011 | | Autor: | cruemel |
Ok, das wär dann schon mal eine Antwort für c, weiß noch jemand etwas zu a oder b?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:57 Do 07.07.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu a) wie kommst du auf $ [mm] \dot{x}= \frac{1}{t} [/mm] - [mm] \frac{1}{t^2} [/mm] $
was meinst du mit alle Koeff, in eine Potenzreihe zu entwickeln?
warum nit P(t) einsetzen und zeigen, dass es ne Lösung gibt?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:15 Fr 08.07.2011 | | Autor: | cruemel |
Oh Tippfehler, ich meine natürlich $ [mm] \dot{x}= \frac{1}{t} [/mm] - [mm] \frac{1}{t^2}x [/mm] $ und mit Koeffinzientenfunktionen meine ich [mm] $\frac{1}{t}$ [/mm] und [mm] $\frac{1}{t^2}$.
[/mm]
Du meinst die ganz allgemeine Form einer Taylorentwicklung [mm] $\sum_{n=0}^\infty= a_n [/mm] (z - [mm] z_0)^n$ [/mm] in die DGL einsetzen und dann schauen ob das noch konvergiert oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:05 Fr 08.07.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie entwickelst du 1/t in [mm] t_0=0?
[/mm]
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Fr 15.07.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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