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| Aufgabe | | Derive the power series for the logarithm by beginning with the differential equation dy=1/(1+x) dx, assuming that y is a power series in x with undetermined coefficients, and solving simple equations to determine each coefficient in turn. |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: Matroids Matheplanet, Onlinemathe.
Hallo Ihr da!
Ich studiere derzeit in Neuseeland und habe eine Frage erhalten, die ich alleine nicht beantworten kann. Hab von DGLs leider GAR KEINE Ahnung und verstehe nicht mal den Ansatz!
Die Aufgabe lautet:
Leite die Potenzreihe des Logarithmus her, indem Du mit der DGL dy=1/(x+1) anfängst und annimmst, dass y eine Potenzreihe in x ist mit unbekannten Koeffizienten, und dann einfache Gleichungen löst, um der Reihe nach jeden Koeffizienten zu bestimmen.
Kann damit irgendwer was anfangen? Ich will diese Aufgabe nicht nur lösen, ich möchte alles incl. Lösungsweg richtig VERSTEHEN...
HILFE!!!!!!!
Cheers und Grüße aus Kiwiland,
Marie
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:30 Mo 26.03.2007 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Marie!
(Da unten wohl eher 'Gute Nacht')
> Derive the power series for the logarithm by beginning with
> the differential equation dy=1/(1+x) dx, assuming that y is
> a power series in x with undetermined coefficients, and
> solving simple equations to determine each coefficient in
> turn.
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt: Matroids Matheplanet,
> Onlinemathe.
Nich so gut :-(
> Ich studiere derzeit in Neuseeland und habe eine Frage
> erhalten, die ich alleine nicht beantworten kann. Hab von
> DGLs leider GAR KEINE Ahnung und verstehe nicht mal den
> Ansatz!
>
> Die Aufgabe lautet:
>
> Leite die Potenzreihe des Logarithmus her, indem Du mit der
> DGL dy=1/(x+1) anfängst und annimmst, dass y eine
> Potenzreihe in x ist mit unbekannten Koeffizienten, und
> dann einfache Gleichungen löst, um der Reihe nach jeden
> Koeffizienten zu bestimmen.
Du kennst hoffentlich die Ableitung des ln. Es ist nämlich
für y = ln(1+x)
y' = [mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1+x}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{1+x} [/mm] ist aber die Summe der geometrischen Reihe mit Anfangsglied 1 und Quotient (-x), also
[mm] \bruch{1}{1+x} [/mm] = 1 - x + [mm] x^{2} [/mm] - [mm] x^{3} \pm [/mm] ...
Andererseits kannst du für
y = [mm] a_{0} [/mm] + [mm] a_{1}x [/mm] + [mm] a_{2}x^{2} \pm [/mm] ...
y' ausrechnen und dann die Koeffizienten vergleichen.
Bei all dem müßtest du dir noch Gedanken machen, warum jeder einzelne Schritt OK ist (Konvergenz usw.)
Gruß von der Elbe an welchen Fluß auch immer
Dieter
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