DGL Lösbarkeit bei Ähnlichkeit < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:56 So 16.11.2014 | | Autor: | Berri25 |
Hallo liebes Forum,
ich befasse mich gerade mit einem Problem in der Physik das mathematisch der Lösung dieser
[mm] {c^2(x)}f'(x)+{\frac{1}{2}}c(x)c'(x)f'(x)-{\frac{1}{4}}c(x)c''(x)f(x)+{\frac{1}{16}}c'(x)c'(x)f(x)=0
[/mm]
Differentialgleichung entspricht.
Mir fiel auf, dass sie dieser
[mm] {c^2(x)}f'(x)+4c(x)c'(x)f'(x)+2c(x)c''(x)f(x)+2c'(x)c'(x)f(x)=0
[/mm]
Differentialgleichung ähnelt.
Wie man erkennen kann folgt aus dieser letzten Differentialgleichung diese
[mm] {\frac{d^2}{dx^2}}(c^2(x)f(x))=0
[/mm]
Differentialgleichung aus welcher die Lösungsfunktion
[mm] f(x)=\frac{ax+b}{c^2(x)} [/mm] mit den Konstanten a und b folgt.
Nun meine Fragen:
Können 2 gewöhnliche Differentialgleichungen, die sich nur in Zahlenkoeffizienten unterscheiden ein vollkommen anderes Lösungsverhalten besitzen und kann die eine einen analytischen Lösungsausdruck besitzen, während die andere einen solchen nicht besitzt?
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
www.ichbinspitzunddasistkeinwitz.de
http://www.matheplanet.de/
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:09 Mo 17.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo liebes Forum,
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> ich befasse mich gerade mit einem Problem in der Physik das
> mathematisch der Lösung dieser
>
> [mm]{c^2(x)}f'(x)+{\frac{1}{2}}c(x)c'(x)f'(x)-{\frac{1}{4}}c(x)c''(x)f(x)+{\frac{1}{16}}c'(x)c'(x)f(x)=0[/mm]
>
> Differentialgleichung entspricht.
>
> Mir fiel auf, dass sie dieser
>
> [mm]{c^2(x)}f'(x)+4c(x)c'(x)f'(x)+2c(x)c''(x)f(x)+2c'(x)c'(x)f(x)=0[/mm]
>
> Differentialgleichung ähnelt.
>
> Wie man erkennen kann folgt aus dieser letzten
> Differentialgleichung diese
>
> [mm]{\frac{d^2}{dx^2}}(c^2(x)f(x))=0[/mm]
>
> Differentialgleichung aus welcher die Lösungsfunktion
>
> [mm]f(x)=\frac{ax+b}{c^2(x)}[/mm] mit den Konstanten a und b folgt.
>
>
> Nun meine Fragen:
> Können 2 gewöhnliche Differentialgleichungen, die sich
> nur in Zahlenkoeffizienten unterscheiden ein vollkommen
> anderes Lösungsverhalten besitzen
Bertrachte die DGL
(1) $y''-y=0$
Bestimme die allgemeine Lösung von (1) und Du wirst sehen, dass jede nichttriviale Lösung von (1) auf [mm] \IR [/mm] unbeschränkt ist.
Bertrachte die DGL
(2) $y''+y=0$
Bestimme die allgemeine Lösung von (2) und Du wirst sehen, dass jede Lösung von (2) auf [mm] \IR [/mm] beschränkt ist.
> und kann die eine einen
> analytischen Lösungsausdruck besitzen, während die andere
> einen solchen nicht besitzt?
Betrachte die Dgl
(3) $y'=a*|x|$.
Für a=0 ist jede Lösung von (3) analytisch.
Für a=2 ist z.B.
[mm] y(x)=\begin{cases} x^2, & \mbox{für } x \ge 0 \\ -x^2, & \mbox{für }x<0 \end{cases}
[/mm]
eine Lösung von (3), die nicht analytisch ist.
FRED
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> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> www.ichbinspitzunddasistkeinwitz.de
> http://www.matheplanet.de/
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