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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - DGL Integrationskonstante
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DGL Integrationskonstante: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:14 Mi 21.02.2007
Autor: Hing

Aufgabe
y' = (cos x) * y oder [mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = (cos x) * y

hallo, ich rechne gerade eine kleine DGL aufgabe aus dem papula.

die aufgabe oben wird auch mit lösung angegeben. wozu ich aber noch drei fragen hätte:

[mm] \integral_{}^{}{\bruch{dy}{y}}=\integral_{}^{}{cos x dx} \Rightarrow [/mm] ln|y|=sin x + ln|C| [mm] \Rightarrow ln|\bruch{y}{C}| [/mm] = sin x

Lsg: y = C * [mm] e^{sin x} [/mm]

FRAGE 1: meint ihr ich muss oder sollte lernen wie man mit differentialoperatoren rechnet, oder reicht es aus wenn ich aus der integraltafel die lösung heraussuche?

FRAGE 2: wieso wird C zu ln|C|? hier steht zwar: "Beim auftreten log.Therme wird die Integrationskonstante zweckmässigerweise in der Form ln|C| angesetzt." das verstehe ich zwar, aber wie geht das?

FRAGE 3: wie komme ich vom letzten schritt auf die lösung?

vielen vielen dank für antworten!

PS: falls jemand eine spontane antwort auf diese frage weiss: https://matheraum.de/read?t=232758



        
Bezug
DGL Integrationskonstante: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:34 Mi 21.02.2007
Autor: leduart

Hallo
> y' = (cos x) * y oder [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] = (cos x) * y
>  hallo, ich rechne gerade eine kleine DGL aufgabe aus dem
> papula.
>  
> die aufgabe oben wird auch mit lösung angegeben. wozu ich
> aber noch drei fragen hätte:
>  
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{dy}{y}}=\integral_{}^{}{cos x dx} \Rightarrow[/mm]
> ln|y|=sin x + ln|C| [mm]\Rightarrow ln|\bruch{y}{C}|[/mm] = sin x
>  
> Lsg: y = C * [mm]e^{sin x}[/mm]
>  
> FRAGE 1: meint ihr ich muss oder sollte lernen wie man mit
> differentialoperatoren rechnet, oder reicht es aus wenn ich
> aus der integraltafel die lösung heraussuche?

Ich weiss nicht, was das hier mit Differentialoperatoren zu tun hat!
die einfachsten Stammfunktionen sollte man auf jeden Fall wissen, die zu sin, cos, [mm] e^x, x^n [/mm] und besser noch ein paar mehr.

> FRAGE 2: wieso wird C zu ln|C|? hier steht zwar: "Beim
> auftreten log.Therme wird die Integrationskonstante
> zweckmässigerweise in der Form ln|C| angesetzt." das
> verstehe ich zwar, aber wie geht das?

die Konstante ist irgendeine Zahl, die kann ich C nennen, lnC, 1/C oder sonstwas, sie muss nur alle reellen zahlen annehmen koennen. also nicht [mm] C^2. [/mm]
fuer reale probleme wird C oder lnC oder... ja durch die Anfangsbed.  ausgerechnet.

> FRAGE 3: wie komme ich vom letzten schritt auf die lösung?

Der Schritt: ln(y/C)=sinx
beide Seiten in e hoch, da das die umkehrfkt von ln ist. also
[mm] e^{ln(y/C)}=e^{sinx} [/mm]
mit [mm] e^{lna}=a [/mm]
hast du dann [mm] y/C=e^{sinx} [/mm]
Jetzt klar?
Gruss leduart

> vielen vielen dank für antworten!
>  
> PS: falls jemand eine spontane antwort auf diese frage
> weiss: https://matheraum.de/read?t=232758
>  
>  


Bezug
                
Bezug
DGL Integrationskonstante: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:31 Do 22.02.2007
Autor: Hing

vielen dank für deine antwort(en). die antworten auf die fragen die ich stelle sind trivial. du machst mir klar, dass ich bei einfachen sachen nicht so verkrampft sein sollte..

Bezug
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