DGL: Anfangswertproblem < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe in einer Aufgabensammlung folgendes AWP gefunden, inkl. Lösung, jedoch komme ich nicht auf den Rechenweg, wenn mir da jemand helfen könnte, wäre ich sehr dankbar.
x(punkt) (t) = e ^ ( - x(t) + 4 )
x(0) = 1
und die Lösung ist:
x(t) = ln (t + 4)
Gruß, Lars
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Also, korrigiert mich bitte, wenn ich falsch liege: aber ich glaube, die angegebene Lösung stimmt nicht.
Kann man ja mal ein die Ausgangs-DGL einsetzen.
Die DGL lautet (falls ich sie richtig verstanden habe): [mm]x'(t)=e^{-x(t)+4}[/mm].
Und die angebliche Lösung: [mm]x(t)=ln(x+4)[/mm].
Dann setz ich das mal ein, zuerst die Ableitung der geg. Lösung: [mm]x'(t)=\bruch{1}{x+4}[/mm].
Und jetzt einsetzen in die rechte Seite der DGL: [mm]e^{-ln(x+4)+4}=e^{4-ln(x+4)}=e^4 \cdot e^{-ln(x+4)}=e^4 \cdot \bruch{1}{e^{ln(x+4)}}=\bruch{e^4}{x+4}[/mm].
Und meiner Meinung nach ist [mm]\bruch{1}{x+4}[/mm] nicht dasselbe wie [mm]\bruch{e^4}{x+4}[/mm].
Aber es gibt auch ne gute Nachricht: ich hab's mal durchgerechnet, und eine Lösung gefunden, die die DGL auch wirklich erfüllt.
Gelöst hab ich's mit Trennung der Variablen (die x(t) und die t hier zu trennen, ist recht einfach).
Dazu schreibt man ja das [mm]x'(t)[/mm] um als [mm]\bruch{dx}{dt}[/mm] (statt x(t) werd ich ab jetzt nur noch x schreiben).
[mm]\bruch{dx}{dt}=e^{-x+4}[/mm] [mm] \gdw[/mm] [mm]\bruch{dx}{dt}=e^{-x} \cdot e^4[/mm] [mm] \gdw[/mm] [mm]\bruch{dx}{e^{-x}}=e^4 dt[/mm] [mm] \gdw[/mm] [mm]e^x dx = e^4 dt[/mm]
Jetzt auf beiden Seiten integrieren:
[mm]e^{x(t)}=e^4t+c[/mm]
Um nach der Funktion x(t) aufzulösen, müssen wir auf beiden Seiten logarithmieren:
[mm]x(t)=ln(e^4t+c)[/mm]
Jetzt fehlt nur noch die Anfangswertbedingung: [mm]x(0)=ln(c)=1[/mm] [mm] \gdw[/mm] [mm]c=e[/mm]
Und somit lautet die gesuchte Funktion: [mm]x(t)=ln(e^4t+e)[/mm]
Im [mm]ln[/mm] kannst du noch ein [mm]e[/mm] ausklammern, und mit Hilfe der Rechenregel [mm]log(a \cdot b)=log(a) + log(b)[/mm] können wir das dann umschreiben zu: [mm]x(t)=1+ln(e^3t+1)[/mm].
Und nach meiner Probe ist das auch die richtige Lösung, außer ich hab mich wirklich extrem und sehr oft verrechnet.
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So, mit einem inzwischen von unserem Tutor korrigierten Anfangswert x(1) = 4 und der gegebenen Lösung x(t) = ln(t) + 4 (nicht x(t) = ln (t+4)) komme ich nun auch problemlos auf diese Lösung.
"Trennung der Veränderlichen" war das Stichwort - Danke !
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