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DGL 2 Ordnung Anfangswert: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:19 Do 05.06.2014
Autor: arbeitsamt

Aufgabe
Bestimmen Sie die Lösung folgender Anfangswertprobleme:

a) x``+4x`+8x=0 mit x(0)=1 ; x`(0)=2

b) x``+4x`+8x=16sin(2t) mit x(0)=1 ; x`(0)=2

c) [mm] x``-7x`+6x=42e^{4z} [/mm] mit [mm] x(1)=8e^4; x`(1)=-84^4 [/mm]

a) x''+4x'+8x=0

[mm] \lambda²+4\lambda+8=0 [/mm]

[mm] \Rightarrow [/mm]

[mm] \lambda_1= [/mm] 2i-2
[mm] \lambda_2=-2i-2 [/mm]

[mm] \Rightarrow [/mm]

[mm] x(t)=e^{-2t}C_1sin(2t)+e^{-2t}C_2cos(2t) [/mm]

[mm] x'(t)=-2e^{-2t}C_1sin(2t)+2C_1cos(2t)*e^{-2t}-2C_2sin(2t)*e^{-2t}-2e^{-2t}C_2cos(2t) [/mm]

x(0)=1  [mm] \Rightarrow C_2=e^{2t} [/mm]

x'(0)=2 [mm] \Rightarrow2=2C_1e^{-2t}-2e^{-2t}C_2 \Rightarrow C_1=2e^{2t} [/mm]



b) x''+4x'+8x=16sin(2t)

[mm] x_{h}(t)=e^{-2t}C_1sin(2t)+e^{-2t}C_2cos(2t) [/mm]

[mm] x_p(t)=Acos(2t)+Bsin(2t) [/mm]

[mm] x_p'(t)=-2Asin(2t)+2Bcos(2t) [/mm]

[mm] x_p''(t)=-4Acos(2t)-4Bsin(2t) [/mm]

in DGL:  

4Acos(2t)-8Asin(2t)+4Bsin(2t)+8Bcos(2t)=16sin(2t)

[mm] \Rightarrow [/mm]

0=4A+8B
16=-6A+4B

[mm] A=-\bruch{8}{5} [/mm]
[mm] B=\bruch{4}{5} [/mm]

[mm] x(t)=e^{-2t}C_1sin(2t)+e^{-2t}C_2cos(2t)-\bruch{8}{5}cos(2t)+\bruch{4}{5}sin(2t) [/mm]

ist soweit alles richtig?

        
Bezug
DGL 2 Ordnung Anfangswert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:47 Do 05.06.2014
Autor: MathePower

Hallo arbeitsamt,

> Bestimmen Sie die Lösung folgender Anfangswertprobleme:
>  
> a) x''+4x'+8x=0 mit x(0)=1 ; x'(0)=2
>  
> b) x''+4x'+8x=16sin(2t) mit x(0)=1 ; x'(0)=2
>  
> c) [mm]x''-7x'+6x=42e^{4z}[/mm] mit [mm]x(1)=8e^4; x'(1)=-84^4[/mm]
>  a)
> x''+4x'+8x=0
>  
> [mm]\lambda²+4\lambda+8=0[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>  
> [mm]\lambda_1=[/mm] 2i-2
>  [mm]\lambda_2=-2i-2[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>  
> [mm]x(t)=e^{-2t}C_1sin(2t)+e^{-2t}C_2cos(2t)[/mm]
>  
> [mm]x'(t)=-2e^{-2t}C_1sin(2t)+2C_1cos(2t)*e^{-2t}-2C_2sin(2t)*e^{-2t}-2e^{-2t}C_2cos(2t)[/mm]
>  
> x(0)=1  [mm]\Rightarrow C_2=e^{2t}[/mm]
>  
> x'(0)=2 [mm]\Rightarrow2=2C_1e^{-2t}-2e^{-2t}C_2 \Rightarrow C_1=2e^{2t}[/mm]
>  


Hier sind doch zuerst die Anfangsbedingungen einzusetzen
und dann die Werte der Konstanten zu ermitteln.


>
>
> b) x''+4x'+8x=16sin(2t)
>
> [mm]x_{h}(t)=e^{-2t}C_1sin(2t)+e^{-2t}C_2cos(2t)[/mm]
>  
> [mm]x_p(t)=Acos(2t)+Bsin(2t)[/mm]
>  
> [mm]x_p'(t)=-2Asin(2t)+2Bcos(2t)[/mm]
>  
> [mm]x_p''(t)=-4Acos(2t)-4Bsin(2t)[/mm]
>  
> in DGL:  
>
> 4Acos(2t)-8Asin(2t)+4Bsin(2t)+8Bcos(2t)=16sin(2t)
>  
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>  
> 0=4A+8B
>  16=-6A+4B
>  
> [mm]A=-\bruch{8}{5}[/mm]
>  [mm]B=\bruch{4}{5}[/mm]
>  
> [mm]x(t)=e^{-2t}C_1sin(2t)+e^{-2t}C_2cos(2t)-\bruch{8}{5}cos(2t)+\bruch{4}{5}sin(2t)[/mm]
>  


[ok]


> ist soweit alles richtig?


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
DGL 2 Ordnung Anfangswert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:26 Do 05.06.2014
Autor: arbeitsamt

hallo,

> Hier sind doch zuerst die Anfangsbedingungen einzusetzen
>  und dann die Werte der Konstanten zu ermitteln.

das habe ich getan

Bezug
        
Bezug
DGL 2 Ordnung Anfangswert: 1a) c1 und c2
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:25 Mo 09.06.2014
Autor: John-89

Moin Arbeitsamt,

ich glaube was der Herr meint ist, dass c2 nicht =e^(2*t) ist.
Es ist doch eher e^(2*0) (AWP beachten) und damit c2=1 sowie c1=2.
Sry für die Notation aber die Eingabehilfen sind mir zu gedrungen um dort durchzusteigen.
lg John

Bezug
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