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DGL 2.Ordnung: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:49 Mi 18.12.2013
Autor: Madabaa

Aufgabe
Bestimmen Sie eine partikuläre Lösung der DGl
[mm] y^{''}+4y=e^{-x}*cos(2x) [/mm]

mit Hilfe eines Ansatzes vom "Typ der rechten Seite ".
Fassen Sie dazu die rechte Seite der DGL als Realteil einer komplexen Exponentialfunktion auf.

Hallo,

Ich habe Probleme die rechte Seite zu einer komplexen Exponentialfunktion
aufzufassen.

Meine Idee war:
[mm] e^{2ix}=cos(2x)+i*sin(2x) [/mm]

[mm] e^{-x}*e^{2ix}=e^{1-2i}=e^{x}*(cos(2x)-i*sin(2x)) [/mm]

Gruß
Madabaa

        
Bezug
DGL 2.Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:49 Mi 18.12.2013
Autor: MathePower

Hallo Madabaa,

> Bestimmen Sie eine partikuläre Lösung der DGl
> [mm]y^{''}+4y=e^{-x}*cos(2x)[/mm]
>  
> mit Hilfe eines Ansatzes vom "Typ der rechten Seite ".
>  Fassen Sie dazu die rechte Seite der DGL als Realteil
> einer komplexen Exponentialfunktion auf.
>  Hallo,
>  
> Ich habe Probleme die rechte Seite zu einer komplexen
> Exponentialfunktion


Die rechte Seite ist doch der Realteil von [mm]e^{-x+2*i*x}[/mm]

Damit lautet der Ansatz für die partikuläre Lösung: [mm]A*e^{-x+2*i*x}, \ A \in \IC[/mm]


>  aufzufassen.
>  
> Meine Idee war:
>  [mm]e^{2ix}=cos(2x)+i*sin(2x)[/mm]
>  
> [mm]e^{-x}*e^{2ix}=e^{1-2i}=e^{x}*(cos(2x)-i*sin(2x))[/mm]
>  
> Gruß
>  Madabaa


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
DGL 2.Ordnung: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:11 Do 19.12.2013
Autor: Madabaa

Hallo,

Danke Mathepower für deine Antwort.
Ich habe noch Probleme mit der Aufgabe und zwar finde ich den Fehler nicht, ich glaube es fehlt irgendswo die exponentialfunktion aber ich weiß nicht an welcher Stelle.

Homogene Gleichung:
[mm] y_{h}(x)=C_{1}cos(2x)+ C_{2}sin(2x) [/mm]

[mm] e^{-x}\cdot{}e^{2ix}= e^{-x+2\cdot{}i\cdot{}x} [/mm]
Komplexifizierung der DGL:
[mm] w^{''}+4w=e^{-x+2\cdot{}i\cdot{}x} [/mm]

Ansatz vom Typ der rechten Seite:
[mm] w(x)=k\cdot{}e^{-x+2\cdot{}i\cdot{}x} [/mm]
[mm] w^{'}(x)=(-1+2i)*k\cdot{}e^{-x+2\cdot{}i\cdot{}x} [/mm]
[mm] w^{''}(x)=(-3-4i)*k\cdot{}e^{-x+2\cdot{}i\cdot{}x} [/mm]

[mm] \Rightarrow (1-4i)*k\cdot{}e^{-x+2\cdot{}i\cdot{}x} =e^{-x+2\cdot{}i\cdot{}x} [/mm]

[mm] \Rightarrow k=\bruch{1}{1-4i}=\bruch{1}{17}+\bruch{4}{17}i [/mm]

[mm] y_{p}(x)=Re(w(x)) [/mm]

[mm] Re(\bruch{1}{17}+\bruch{4}{17}i)*(cos(2x)+i*sin(2x)) [/mm]

[mm] =\bruch{1}{17}cos(2x)-\bruch{4}{17}sin(2x) [/mm]

Allgemeine Lösung:

[mm] \bruch{1}{17}cos(2x)-\bruch{4}{17}sin(2x)+C_{1}cos(2x)+ C_{2}sin(2x) [/mm]





Bezug
                        
Bezug
DGL 2.Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:29 Do 19.12.2013
Autor: MathePower

Hallo Madabaa,

> Hallo,
>  
> Danke Mathepower für deine Antwort.
>  Ich habe noch Probleme mit der Aufgabe und zwar finde ich
> den Fehler nicht, ich glaube es fehlt irgendswo die
> exponentialfunktion aber ich weiß nicht an welcher
> Stelle.
>  
> Homogene Gleichung:
>  [mm]y_{h}(x)=C_{1}cos(2x)+ C_{2}sin(2x)[/mm]
>  
> [mm]e^{-x}\cdot{}e^{2ix}= e^{-x+2\cdot{}i\cdot{}x}[/mm]
>  
> Komplexifizierung der DGL:
>  [mm]w^{''}+4w=e^{-x+2\cdot{}i\cdot{}x}[/mm]
>  
> Ansatz vom Typ der rechten Seite:
>  [mm]w(x)=k\cdot{}e^{-x+2\cdot{}i\cdot{}x}[/mm]
>  [mm]w^{'}(x)=(-1+2i)*k\cdot{}e^{-x+2\cdot{}i\cdot{}x}[/mm]
>  [mm]w^{''}(x)=(-3-4i)*k\cdot{}e^{-x+2\cdot{}i\cdot{}x}[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow (1-4i)*k\cdot{}e^{-x+2\cdot{}i\cdot{}x} =e^{-x+2\cdot{}i\cdot{}x}[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow k=\bruch{1}{1-4i}=\bruch{1}{17}+\bruch{4}{17}i[/mm]
>  
> [mm]y_{p}(x)=Re(w(x))[/mm]
>  
> [mm]Re(\bruch{1}{17}+\bruch{4}{17}i)*(cos(2x)+i*sin(2x))[/mm]
>  


An dieser Stelle fehlt noch die Exponentialfunktion:

[mm]y_{p}(x)=Re(\bruch{1}{17}+\bruch{4}{17}i)*(cos(2x)+i*sin(2x))*\blue{e^{-x}}[/mm]


> [mm]=\bruch{1}{17}cos(2x)-\bruch{4}{17}sin(2x)[/mm]
>  
> Allgemeine Lösung:
>  
> [mm]\bruch{1}{17}cos(2x)-\bruch{4}{17}sin(2x)+C_{1}cos(2x)+ C_{2}sin(2x)[/mm]
>  


Dann lautet die allgemeine Lösung:

[mm]\bruch{1}{17}cos(2x)*\blue{e^{-x}}-\bruch{4}{17}sin(2x)*\blue{e^{-x}}+C_{1}cos(2x)+ C_{2}sin(2x)[/mm]


Gruss
MathePower

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DGL 2.Ordnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:10 Do 19.12.2013
Autor: Madabaa

Danke

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