DGL 1. Ordnung Integral < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:52 Sa 18.07.2009 | | Autor: | paul87 |
| Aufgabe | Geben Sie die allgemeine Lösung der DGL
[mm] y'-\bruch{y}{x}=\bruch{2x^{2}+2x}{(x-1)(x^{2}+3)}
[/mm]
an. |
Ich habe erst die homogene Lösung bestimmt und dann die inhomogene.
dann bekomm ich für [mm] K'(x)=\bruch{2x+2}{(x-1)(x^{2}+3)}
[/mm]
um K(x) zu bekommen wollte ich integrieren durch partialbruchzerlegung.
[mm] K(x)=\integral_{}^{}{\bruch{1}{x-1} dx}+\integral_{}^{}{\bruch{1-x}{x^{2}+3} dx}
[/mm]
jetzt weis ich aber nicht wie ich das zweite integral lösen soll. oder hab ich vorher schon was falsch gemacht?
|
|
| |
|
Hallo paul87,
> Geben Sie die allgemeine Lösung der DGL
>
> [mm]y'-\bruch{y}{x}=\bruch{2x^{2}+2x}{(x-1)(x^{2}+3)}[/mm]
>
> an.
> Ich habe erst die homogene Lösung bestimmt und dann die
> inhomogene.
>
> dann bekomm ich für [mm]K'(x)=\bruch{2x+2}{(x-1)(x^{2}+3)}[/mm]
>
> um K(x) zu bekommen wollte ich integrieren durch
> partialbruchzerlegung.
>
> [mm]K(x)=\integral_{}^{}{\bruch{1}{x-1} dx}+\integral_{}^{}{\bruch{1-x}{x^{2}+3} dx}[/mm]
>
> jetzt weis ich aber nicht wie ich das zweite integral
> lösen soll. oder hab ich vorher schon was falsch gemacht?
Bis hier hin ist alles richtig.
Schreibe 1-x wie folgt:
[mm]1-x = \alpha*\left(x^{2}+3\right)'+2[/mm]
Von den dann entstehenden Integralen sollten
dann die Stammfunktionen bekannt sein:
[mm]\integral_{}^{}{\alpha \bruch{\left(x^{2}+3\right)'}{x^{2}+3}\ dx}= ... [/mm]
[mm]\integral_{}^{}{\bruch{2}{x^{2}+3}\ dx}= ... [/mm]
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:14 Sa 18.07.2009 | | Autor: | paul87 |
das klingt ja einfach. aber wieso kann ich für 1-x einfach das ersetzen?
und was ist das für ein strich oben an [mm] (x^{2}+3)?
[/mm]
aber schon mal vielen dank für die schnelle antwort.
gruß
paul
|
|
|
| |
|
Hallo Paul,
> das klingt ja einfach. aber wieso kann ich für 1-x einfach
> das ersetzen?
>
> und was ist das für ein strich oben an [mm](x^{2}+3)?[/mm]
Das ist die Ableitung.
Ziel ist es, das zunächst "schwierige" Integral [mm] $\int{\frac{1-x}{x^2+3} \ dx}$ [/mm] zu zerlegen in die Summe zweier einfacherer Integrale, von denen das erste ein logarithmisches Integral ist, also eines der Bauart [mm] $\int{\frac{g'(x)}{g(x)} \ dx}$, [/mm] wo also im Zähler die Ableitung des Nenners steht.
Denn eine Stammfunktion für diese Art Integrale ist bekannt, nämlich [mm] $\ln(|g(x)|) [/mm] \ +C$ (Herleitung per Substitution $u:=g(x)$ ...)
Konkret hier:
[mm] $\int{\frac{1-x}{x^2+3} \ dx}$
[/mm]
Multipliziere das mit [mm] $\frac{-2}{-2}$ [/mm] und du erhältst:
[mm] $...=-\frac{1}{2}\cdot{}\int{\frac{2x-2}{x^2+3} \ dx}=-\frac{1}{2}\cdot{}\int{\left(\frac{2x}{x^2+3}-\frac{2}{x^2+3}\right) \ dx}$
[/mm]
[mm] $=-\frac{1}{2}\cdot{}\int{\frac{2x}{x^2+3} \ dx} [/mm] \ + \ [mm] \int{\frac{1}{x^2+3} \ dx}$
[/mm]
Nun ist das erste nach dem oben Gesagten ein logar. Integral, das kannste abhaken, das zweite ist eins mit [mm] $\arctan$
[/mm]
Substituiere so, dass du [mm] $M\cdot{}\int{\frac{1}{z^2+1} \ dz}$ [/mm] bekommst ...
(Klammere mal im Nenner [mm] $3=(\sqrt{3})^2$ [/mm] aus ...)
>
> aber schon mal vielen dank für die schnelle antwort.
>
> gruß
> paul
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:48 Sa 18.07.2009 | | Autor: | paul87 |
super danke. echt super tolles forum.
|
|
|
|
