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DGL 1. Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:33 Fr 10.04.2009
Autor: Martinius

Aufgabe
Solve

[mm] $y'=\wurzel{\frac{5x-6y}{5x+6y}}$. [/mm]

Hallo,

ich habe etwas Probleme mit dieser DGL. Zuerst hatte ich einmal versucht:

$y=x*v(x)$

$y'=v+xv'$

[mm] $v+xv'=\wurzel{\frac{5-6v}{5+6v}}$ [/mm]

[mm] $xv'=\frac{\wurzel{5-6v}-v\wurzel{5+6v}}{\wurzel{5+6v}}$ [/mm]

[mm] $\int \bruch{\wurzel{5+6v}}{\wurzel{5-6v}-v\wurzel{5+6v}}\;dv [/mm] = [mm] \int \bruch{1}{x}\;dx$ [/mm]

[mm] $\int \bruch{\wurzel{25-36v^2}+5v+6v^2}{5-6v-5v^2-6v^3)}\;dv [/mm] = [mm] \int \bruch{1}{x}\;dx$ [/mm]


Aber das kann ich nicht integrieren. (Mein CAS auch nicht.)


Dann stand im Anhang noch ein Lösungshinweis:

[mm] $u=\wurzel{\frac{5x-6y}{5x+6y}}$. [/mm]

Das habe ich als Substitution aufgefasst und probiert y' durch f(u,u') zu ersetzen, was aber nicht geht:

[mm] $u'(x)=\frac{1}{2\wurzel{u}}*\frac{(5x+6y)(5-6y')-(5x-6y)(5+6y')}{(5x+6y)^2}$ [/mm]

[mm] $u'(x)=\frac{1}{2\wurzel{u}}*\frac{(5-6y')-u^2(5+6y')}{5x+6y}=\frac{1}{2\wurzel{u}}*\frac{5(1-u^2)-6y'(1+u^2)}{5x+6y}$ [/mm]

[mm] $y'=\bruch{2\wurzel{u}u'(5x+6y)-5(1-u^2)}{6(1+u^2)}$ [/mm]

Hätte jemand einen Lösungsansatz?

Vielen Dank,

Martinius


P.S.

Die Lösung steht auch im Anhang:

[mm] $u=\wurzel{\frac{5x-6y}{5x+6y}}$ [/mm]

[mm] $ln|x|=ln|u^2+1|-\frac{16}{31}*ln|2u-1|-\frac{23}{31}*ln|3u^2+4u+5|-\frac{68}{31\wurzel{11}}*arctan\left( \frac{3u+2}{\wurzel{11}}\right)$ [/mm]

        
Bezug
DGL 1. Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:40 Fr 10.04.2009
Autor: MathePower

Hallo Martinius,

> Solve
>  
> [mm]y'=\wurzel{\frac{5x-6y}{5x+6y}}[/mm].
>  Hallo,
>  
> ich habe etwas Probleme mit dieser DGL. Zuerst hatte ich
> einmal versucht:
>  
> [mm]y=x*v(x)[/mm]
>  
> [mm]y'=v+xv'[/mm]
>  
> [mm]v+xv'=\wurzel{\frac{5-6v}{5+6v}}[/mm]
>  
> [mm]xv'=\frac{\wurzel{5-6v}-v\wurzel{5+6v}}{\wurzel{5+6v}}[/mm]
>  
> [mm]\int \bruch{\wurzel{5+6v}}{\wurzel{5-6v}-v\wurzel{5+6v}}\;dv = \int \bruch{1}{x}\;dx[/mm]
>  
> [mm]\int \bruch{\wurzel{25-36v^2}+5v+6v^2}{5-6v-5v^2-6v^3)}\;dv = \int \bruch{1}{x}\;dx[/mm]
>  
>
> Aber das kann ich nicht integrieren. (Mein CAS auch
> nicht.)


Das Problem wird hier der Wurzelausdruck im Zähler  sein.


>  
>
> Dann stand im Anhang noch ein Lösungshinweis:
>  
> [mm]u=\wurzel{\frac{5x-6y}{5x+6y}}[/mm].
>  
> Das habe ich als Substitution aufgefasst und probiert y'
> durch f(u,u') zu ersetzen, was aber nicht geht:
>  
> [mm]u'(x)=\frac{1}{2\wurzel{u}}*\frac{(5x+6y)(5-6y')-(5x-6y)(5+6y')}{(5x+6y)^2}[/mm]
>  
> [mm]u'(x)=\frac{1}{2\wurzel{u}}*\frac{(5-6y')-u^2(5+6y')}{5x+6y}=\frac{1}{2\wurzel{u}}*\frac{5(1-u^2)-6y'(1+u^2)}{5x+6y}[/mm]
>  
> [mm]y'=\bruch{2\wurzel{u}u'(5x+6y)-5(1-u^2)}{6(1+u^2)}[/mm]
>  


Du mußt ja auch noch y ersetzen.

Nach meiner Rechnung ist [mm]y=\bruch{5x}{6}*\bruch{1-u^{2}}{1+u^{2}}[/mm]

Zur Ableitung:

[mm]u^{2}=\bruch{5x-6y}{5x+6y}[/mm]

[mm]\Rightarrow 2u*u'=\bruch{\left(5-6y'\right)*\left(5x+6y\right)-\left(5x-6y\right)*\left(5+6y'\right)}{\left(5x+6y\right)^{2}}[/mm]

[mm]\gdw 2u*u'=\bruch{25x+30y-30y'x-36yy'-\left(25x+30xy'-30y-36yy')}{\left(5x+6y\right)^{2}}[/mm]

[mm]\gdw 2u*u'=\bruch{60y-60y'x}{\left(5x+6y\right)^{2}}[/mm]

[mm]\gdw y' = \bruch{1}{60x}*\left(60y-\left(5x+6y\right)^{2}2u*u'\right)[/mm]


Und nun noch [mm]5x+6y[/mm] durch [mm]5 x*\bruch{2}{1+u^{2}}[/mm]
sowie y durch [mm]\bruch{5x}{6}*\bruch{1-u^{2}}{1+u^{2}}[/mm] ersetzen.


> Hätte jemand einen Lösungsansatz?
>  
> Vielen Dank,
>  
> Martinius
>  
>
> P.S.
>  
> Die Lösung steht auch im Anhang:
>  
> [mm]u=\wurzel{\frac{5x-6y}{5x+6y}}[/mm]
>  
> [mm]ln|x|=ln|u^2+1|-\frac{16}{31}*ln|2u-1|-\frac{23}{31}*ln|3u^2+4u+5|-\frac{68}{31\wurzel{11}}*arctan\left( \frac{3u+2}{\wurzel{11}}\right)[/mm]


Gruß
MathePower

Bezug
                
Bezug
DGL 1. Ordnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:59 Sa 11.04.2009
Autor: Martinius

Hallo MathePower,

vielen Dank!

LG, Martinius

Bezug
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