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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:24 Mo 03.12.2007 | | Autor: | polyurie |
| Aufgabe | Zu lösen ist das AWP
[mm] y'=y-t^{2}+1 [/mm] ; [mm] y_{0}=0,5
[/mm]
Ermitteln sie die exakte Lösung. |
Hi,
diese Aufgabe hat noch einige weitere Unterpunkte. Es geht eigentlich um die numerische Lösung durch das Eulerverfahren. Ich habe aber nur Probleme mit der exakten Lösung der DGL.
Ich habe die exakte Lösung mit der Methode "Aufsuchen einer partikulären Lösung" raus bekommen. Jetzt wollte ich das nochmal mit "Variation der Konstanten" versuchen, da wir für die Klausur beide Verfahren können müssen. Hat nicht geklappt...
So weit bin ich gekommen:
homogene DGL:
y'-y=0
[mm] \bruch{dy}{dt}=y
[/mm]
[mm] dt=\bruch{1}{y}
[/mm]
auf beiden Seiten integrieren:
t=ln|y|+ln|K|
[mm] y=e^{t}-K
[/mm]
Variation der Konstanten:
[mm] y=e^{t}-K_{t}
[/mm]
[mm] y'=t*e^{t}-K'_{t}
[/mm]
y und y' in DGL einsetzen:
[mm] t*e^{t}-K'_{t}=e^{t}-K_{t}-t^{2}+1
[/mm]
So bis hierhin komm ich. Normalerweise sollte sich da jetzt einiges wegkürzen, tut es aber nicht.
exakte Lösung: [mm] y=(t+1)^{2}+ce^{t} [/mm] bzw.: [mm] y=(t+1)^{2}-0,5e^{t}
[/mm]
Ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen. Vielen Dank!!!!
Gruß Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:38 Mo 03.12.2007 | | Autor: | max3000 |
Deine homogene Lösung stimmt nicht.
y'-y=0
Das heißt [mm] \bruch{dy}{dx}=y
[/mm]
[mm] \bruch{dy}{y}=dx
[/mm]
Integrieren ergibt
ln(y)=x+c
[mm] \Rightarrow y=e^{x+c}=e^ce^x
[/mm]
Da [mm] e^c>0 [/mm] kannst du [mm] e^c [/mm] durch [mm] c_1 [/mm] ersetzen, wobei [mm] c_1>0.
[/mm]
[mm] y_h=c_1e^x
[/mm]
Dein Fehler war, dass du die Konstante bei der Integration der y eingefügt hast. Vielleicht geht es ja so auch, aber wir haben die immer bei der integration [mm] \integral...dx [/mm] eingebaut.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:56 Mo 03.12.2007 | | Autor: | polyurie |
yep, das war das ganze Problem. Vielen Dank für die Hilfe!!!
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