DGL 1.Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sie die DGL:
(*) y'= [mm] 3y-2y^2-1
[/mm]
Bestimmen sie mit Hilfe der Substitution
[mm] u(x)=\bruch{1}{y(x)-1}
[/mm]
die Lösung von(*) mi der Anfangsbedingung y(0)=2
Gibt es auch eine Lösung von (*)mit y(0)=1 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
hallo
das Problem bei dieser Aufgabenstellung liegt daran das mir dort irgendwie der Ansatz fehlt da es sich weder um eine Homogene bzw. Inhomogene Gleichung handelt. Außerdem find ich das [mm] y^2 [/mm] sehr merkwürdig. Ich habe mal folgendes versucht.
1. [mm] u(x)=\bruch{1}{y(x)-1}
[/mm]
u(x)*(y(x)-1) =1
y(x)= [mm] \bruch{1}{y(x)}+1
[/mm]
[mm] y'(x)=\bruch{1}{u'(x)}
[/mm]
2. das dann in die dgl einsetzen
[mm] \bruch{1}{u'}=\bruch{3}{u}-\bruch{2}{u^2}-1
[/mm]
[mm] u'=\bruch{u}{3}-\bruch{u^2}{2}-1
[/mm]
das erscheint aber alles sehr merkwürdig und ich weiss nich ob das so richtig ist hat jemand villeicht ne bessere idee oder einen tipp wie man dort herangehen sollte
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Hi, estefan,
> Gegeben sie die DGL:
> (*) y'= [mm]3y-2y^2-1[/mm]
> Bestimmen sie mit Hilfe der Substitution
> [mm]u(x)=\bruch{1}{y(x)-1}[/mm]
>
> die Lösung von(*) mi der Anfangsbedingung y(0)=2
> Gibt es auch eine Lösung von (*)mit y(0)=1
>
> hallo
> das Problem bei dieser Aufgabenstellung liegt daran das
> mir dort irgendwie der Ansatz fehlt da es sich weder um
> eine Homogene bzw. Inhomogene Gleichung handelt. Außerdem
> find ich das [mm]y^2[/mm] sehr merkwürdig. Ich habe mal folgendes
> versucht.
>
> 1. [mm]u(x)=\bruch{1}{y(x)-1}[/mm]
> u(x)*(y(x)-1) =1
> y(x)= [mm]\bruch{1}{y(x)}+1[/mm]
> [mm]y'(x)=\bruch{1}{u'(x)}[/mm]
Also: Die letzte Zeile stimmt sicher nicht!
Die Ableitung der rechten Seite müsste sein: [mm] -\bruch{u'}{u^{2}}
[/mm]
Andererseits wundert mich der ganze Ansatz!
Die Aufgabenstellung weist doch eindeutig auf eine separierbare DGL hin:
[mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = [mm] 3y-2y^{2}-1 [/mm]
Für [mm] y\not=1 [/mm] und [mm] y\not=0,5 [/mm] kann man umformen:
[mm] \bruch{dy}{3y-2y^{2}-1} [/mm] = dx
Daher:
[mm] \integral{\bruch{dy}{3y-2y^{2}-1}} [/mm] = [mm] \integral{dx}
[/mm]
bzw.
[mm] \integral{\bruch{1}{-2y^{2}+3y-1}dy} [/mm] = [mm] \integral{dx}
[/mm]
Wahrscheinlich ist es geschickter, noch folgendermaßen umzuformen:
[mm] \integral{\bruch{1}{y^{2}-1,5y+0,5}dy} [/mm] = [mm] -2*\integral{dx}
[/mm]
Jetzt machst Du auf der linken Seite die Partialbruchzerlegung und kannst dann leicht integrieren!
mfG!
Zwerglein
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Hi, estefan,
Nachtrag zu meiner ersten Anwort:
Lösung: y = [mm] \bruch{k*e^{x}-0,5}{k*e^{x}-1} [/mm] für y [mm] \not= [/mm] 1, sowie y=1 als konstante Lösung.
Deine AWP haben also folgende spez. Lösungen:
y(0) = 2 => k=1,5 in obiger Gleichung.
y(0)=1 => y=1 als konstante Funktion.
Nun aber zu dem Vorschlag des Aufgabenstellers:
u = [mm] \bruch{1}{y-1} [/mm] bzw. [mm] y=\bruch{1}{u}+1
[/mm]
Wir hatten ja schon geklärt, dass dann y' = [mm] -\bruch{u'}{u^{2}} [/mm] sein muss.
Eingesetzt in Deine DGL und umgeformt erhalte ich daraus letztlich:
u' - u = 2
Naja: Und das sieht doch schon ganz gut lösbar aus, oder?
mfG!
Zwerglein
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:51 Sa 23.09.2006 | | Autor: | estefan86 |
@ Zwerglein
vielen dank für deine Hilfe ich jetzt komme ich schon selbst damit zurecht=)
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