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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:58 Sa 29.05.2010 | | Autor: | BRuce |
| Aufgabe 1 | | [mm] y'=(x+y+1)^2 [/mm] |
| Aufgabe 2 | | [mm] x^2y'=(1/4)x^2+y^2 [/mm] |
Hi zusammen, bin mach grad n paar Aufgaben Integration durch Substitution. lin.DGL 1. Ordnung. Und irgendwie hab ich immer Probleme beim letzten Schritt beim Integrieren.
bei Aufgabe eins habe ich u=(x+y+1) gewählt, und in unsere schöne Formel mit
Integral dx/x = Integral du/f(u)-u
eingesetzt:
Integral dx/x = Integral [mm] du/u^2-u,so [/mm] aber wie mache ich jetzt am geschicktesten weiter, wie integrier ich die rechte seite am effektivsten, hat da wer ne Idee für mich, das gleich bei Aufagbe 2:
Integral dx/x = Integral [mm] du/4+u^2-u; [/mm]
(mit u= y/x)
Habs zwar schon in Wolfram Alpha eingegeben, aber da kommt nur n Ellenlangerausrduck ...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> [mm]y'=(x+y+1)^2[/mm]
> [mm]x^2y'=(1/4)x^2+y^2[/mm]
> Hi zusammen, bin mach grad n paar Aufgaben Integration
> durch Substitution. lin.DGL 1. Ordnung. Und irgendwie hab
> ich immer Probleme beim letzten Schritt beim Integrieren.
>
> bei Aufgabe eins habe ich u=(x+y+1) gewählt, und in unsere
> schöne Formel mit
> Integral dx/x = Integral du/f(u)-u
> eingesetzt:
> Integral dx/x = Integral [mm]du/u^2-u,so[/mm] aber wie mache ich
> jetzt am geschicktesten weiter, wie integrier ich die
> rechte seite am effektivsten, hat da wer ne Idee für mich,
[mm] y'=(x+y+1)^2
[/mm]
u=x+y+1
y'=u'-1
[mm] u'-1=u^2
[/mm]
[mm] u'=u^2+1
[/mm]
[mm] \int \bruch{1}{u^2+1}=\int [/mm] dx
arctan(u)=x+C
u=tan(x+C)
x+1+y=tan(x+C)
y(x)=tan(x+C)-x-1
Prüfe durch Einsetzen in die DGL auf Richtigkeit.
> das gleich bei Aufagbe 2:
> Integral dx/x = Integral [mm]du/4+u^2-u;[/mm]
> (mit u= y/x)
>
> Habs zwar schon in Wolfram Alpha eingegeben, aber da kommt
> nur n Ellenlangerausrduck ...
[mm] x^2*y'=\bruch{1}{4}x^2+y^2
[/mm]
[mm] y'=\bruch{1}{4}+\bruch{y^2}{x^2}
[/mm]
[mm] u=\bruch{y}{x}
[/mm]
[mm] \bruch{du}{dx}=\bruch{xy'-y}{x^2}
[/mm]
[mm] x^2*u'=xy'-y
[/mm]
[mm] xy'=x^2*u'+y
[/mm]
y'=x*u'+u
[mm] xu'+u=\bruch{1}{4}+u^2
[/mm]
[mm] xu'=u^2-u+\bruch{1}{4}
[/mm]
[mm] \int \bruch{1}{u^2-u+0,25}du=\int \bruch{1}{x}dx
[/mm]
[mm] \int \bruch{1}{(u-0,5)^2}du=\int \bruch{1}{x}dx
[/mm]
[mm] \bruch{-1}{u-0,5}=ln|x|+C
[/mm]
[mm] u-\bruch{1}{2}=\bruch{-1}{ln|x|+C}
[/mm]
[mm] y=\bruch{-x}{ln|x|+C}+\bruch{x}{2}
[/mm]
Prüfe durch Ableiten und Einsetzen in die DGL auf Richtigkeit.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG, Martinius
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