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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:12 Fr 20.11.2015 | | Autor: | Ice-Man |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Lösung der folgenden DGL.
$y'''+y'=0$ |
Hallo,
ich habe bitte einmal eine Frage.
Kann mir jemand einen Tipp geben wie ich zu der o.g. DGL die Lösung erhalte?
Ich weis nicht wie ich anfangen soll.
Bzw. ich verstehe auch nicht wie ich in der Lösung
y = [mm] c_{1} [/mm] + [mm] c_{2} [/mm] cos x + [mm] c_{3} [/mm] sin x
auf die erste Konstante [mm] c_{1} [/mm] komme.
Über eure Hilfe wäre ich dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:04 Fr 20.11.2015 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie die Lösung der folgenden DGL.
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> [mm]y^{'''}[/mm] + [mm]y^{'}[/mm] =0
> Hallo,
>
> ich habe bitte einmal eine Frage.
>
> Kann mir jemand einen Tipp geben wie ich zu der o.g. DGL
> die Lösung erhalte?
> Ich weis nicht wie ich anfangen soll.
>
> Bzw. ich verstehe auch nicht wie ich in der Lösung
> y= [mm]c_{1}[/mm] + [mm]c_{2}[/mm] cosx + [mm]c_{3}[/mm] sinx
>
> auf die erste Konstante [mm]c_{1}[/mm] komme.
>
> Über eure Hilfe wäre ich dankbar.
Das zur DGL geh. char. Polynom lautet [mm] z^3+z. [/mm] Dieses hat die Nullstellen
0, i und -i.
Damit bekommt man das Fundamentalsystem
1, cos(x), sin(x)
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:10 Fr 20.11.2015 | | Autor: | Ice-Man |
Vielen Dank für deine Antwort.
Doch leider verstehe ich nicht wie ich dieses char. Polynom erhalte. Ist das irgendwo gegeben (also in einer Formelsammlung oder dgl.)?
Und sorry, aber ich hab gerade einen Blackout, wie "wandel" ich die Nullstellen in ein Fundamentalsystem um?
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Hallo,
da wir hier sicher keine Vorlesung ersetzen können, empfehle ich dir diese Seite:
http://www-math.upb.de/~mathkit/Inhalte/DGLen/data/manifest9/Lsg_linDGL_konstKoeff.html
Hilft das weiter?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:30 Fr 20.11.2015 | | Autor: | Ice-Man |
Vielen Dank,
ich meine, ich weis ja eigentlich wie das funktioniert, aber gerade steh ich nur irgendwie auf dem Schlauch.
Ich schreibe einfach mal was auf,
[mm] y^{'''} [/mm] + [mm] y^{'} [/mm] = 0
Ansatz: [mm] y=e^{\lambda x}
[/mm]
[mm] \lambda^{3} [/mm] + [mm] \lambda [/mm] = 0
Polynomdivision --- > Ergebnis: [mm] \lambda^{2} [/mm] + 1 = 0
Nullstellen +/- j
Also lauten die Nullstellen von dem Polynom 0 , -j , j (Aber das habt ihr mir ja glücklicherweise nochmal bestätigt)
Und ich weis ja auch das Sin x und Cos x eine Lösung der DGL sind.
Aber ich verstehe nicht woher die "andere fehlende Konstante kommt".
Hängt das mit der "3.Ordnung" zusammen?
Danke schon einmal
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:50 Fr 20.11.2015 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Vielen Dank,
>
> ich meine, ich weis ja eigentlich wie das funktioniert,
> aber gerade steh ich nur irgendwie auf dem Schlauch.
>
> Ich schreibe einfach mal was auf,
>
> [mm]y^{'''}[/mm] + [mm]y^{'}[/mm] = 0
>
> Ansatz: [mm]y=e^{\lambda x}[/mm]
>
> [mm]\lambda^{3}[/mm] + [mm]\lambda[/mm] = 0
>
> Polynomdivision --- > Ergebnis: [mm]\lambda^{2}[/mm] + 1 = 0
Polynomdivision? Meinst Du nicht, das ist leicht übertrieben? Ich würde das ausklammern nennen.
> Nullstellen +/- j
>
> Also lauten die Nullstellen von dem Polynom 0 , -j , j
> (Aber das habt ihr mir ja glücklicherweise nochmal
> bestätigt)
>
> Und ich weis ja auch das Sin x und Cos x eine Lösung der
> DGL sind.
Wie war denn Dein Ansatz? [mm] $y(x)=e^{\lambda x}$
[/mm]
> Aber ich verstehe nicht woher die "andere fehlende
> Konstante kommt".
> Hängt das mit der "3.Ordnung" zusammen?
Und warum hast Du nochmal das char. Polynom und dessen Nullstellen bestimmt? Siehst Du irgendeine Verbindung zwischen dem Ansatz mit der e-Fkt. und den Werten, die Du für [mm] $\lambda$ [/mm] bestimmt hast?
>
> Danke schon einmal
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:52 Fr 20.11.2015 | | Autor: | Ice-Man |
Also meinen Ansatz habe ich ja beschrieben.
Aber ich bin jetzt nicht sicher was du mit Zusammenhang zwischen den Lambda Werten und der e-Funktion meinst.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:27 Fr 20.11.2015 | | Autor: | notinX |
> Also meinen Ansatz habe ich ja beschrieben.
>
> Aber ich bin jetzt nicht sicher was du mit Zusammenhang
> zwischen den Lambda Werten und der e-Funktion meinst.
Das habe ich befürchtet.
[mm] $\lambda$ [/mm] steht als Faktor vor der Variable im Exponent der e-Fkt. und durch die Nullstellen des char. Polynoms wird dieses [mm] $\lambda$ [/mm] bestimmt. Setze doch mal die verschiedenen [mm] $\lambda_i$, [/mm] die Du errechnet hast in die e-Fkt. ein und schau was da jeweils rauskommt.
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:42 Fr 20.11.2015 | | Autor: | Ice-Man |
Das habe ich mir schon irgendwie gedacht, aber eine "imaginäre Zahl" kann ich nur schlecht einsetzten ;).
Deswegen verstehe ich den Zusammenhang zu der Trigonometrie nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:52 Fr 20.11.2015 | | Autor: | notinX |
> Das habe ich mir schon irgendwie gedacht, aber eine
> "imaginäre Zahl" kann ich nur schlecht einsetzten ;).
Wieso das denn? Geht eigentlich ziemlich einfach: [mm] $y(x)=e^{ix}$
[/mm]
> Deswegen verstehe ich den Zusammenhang zu der Trigonometrie
> nicht.
Dann solltest Du Dir ganz schnell mal die Euler-Identität (Eulersche Formel, Eulerformel und welche Namen es auch sonst noch gibt) anschauen und merken. Die ist von elementarer Bedeutung bei der Lösung von Differentialgleichungen und überhaupt sehr wichtig.
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:08 Fr 20.11.2015 | | Autor: | Ice-Man |
So hab ich das ja nicht gemeint ;).
Ich meine damit das ich die Lösung "1" erhalte.
Aber mir fehlt der Zusammenhang zum Sinus bzw. Cosinus.
Kann ich denn nicht rechnerisch nachvollziehen wie ich von der imaginären Einheit zum Sinus komme?
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https://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Formel