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Hallo zusammen
Ich soll die DGL y'=y*sin(2x) lösen.
Dies habe ich wie folgt gemacht:
Es gilt: sin(2x)=2*cos(x)*sin(x)
Nach Satz vom Skript gilt: [mm] \integral{\bruch{1}{y} dy }=\integral{2*cos(x)*sin(x) dx }
[/mm]
So nun habe ich das Integral [mm] \integral{2*cos(x)*sin(x) dx } [/mm] gelöst in dem ich die Substitution u=sin(x) angewendet habe.
Dies ergibt [mm] \integral{ 2*cos(x)*sin(x) dx } [/mm] = [mm] sin^2(x)+C
[/mm]
Zurück zur DGL:
[mm] ln(y)=sin^2(x)+C \gdw y=e^{sin^2(x)+C}=e^{sin^2(x)}*C [/mm]
Mein Problem ist nun, dass WolframAlpha das Resultat [mm] y=e^{-\bruch{1}{2}*cos(2x)}*C [/mm] berechnet.
Wo liegt also mein Fehler?
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Hallo Babybel73,
> Hallo zusammen
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> Ich soll die DGL y'=y*sin(2x) lösen.
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> Dies habe ich wie folgt gemacht:
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> Es gilt: sin(2x)=2*cos(x)*sin(x)
> Nach Satz vom Skript gilt: [mm]\integral{\bruch{1}{y} dy }=\integral{2*cos(x)*sin(x) dx }[/mm]
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> So nun habe ich das Integral [mm]\integral{2*cos(x)*sin(x) dx }[/mm]
> gelöst in dem ich die Substitution u=sin(x) angewendet
> habe.
> Dies ergibt [mm]\integral{ 2*cos(x)*sin(x) dx }[/mm] = [mm]sin^2(x)+C[/mm]
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> Zurück zur DGL:
> [mm]ln(y)=sin^2(x)+C \gdw y=e^{sin^2(x)+C}=e^{sin^2(x)}*C[/mm]
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> Mein Problem ist nun, dass WolframAlpha das Resultat
> [mm]y=e^{-\bruch{1}{2}*cos(2x)}*C[/mm] berechnet.
>
> Wo liegt also mein Fehler?
>
Ein Fehler liegt nicht vor, vielmehr ist bei
WolframAlpha die rechte Seite direkt integiert worden:
[mm]\integral{ sin(2x) \ dx } = -\bruch{1}{2}\cos\left(2x\right)+C[/mm]
Es gilt doch:
[mm]\cos\left(2*x\right)=\cos^{2}\left(x\right)-\sin^{2}\left(x\right)=1-2*\sin^{2}\left(x\right)=2*\cos^{2}\left(x\right)-1[/mm]
Damit ist auch klargestellt, daß Deine Lösung auch richtig ist.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:36 Di 26.08.2014 | | Autor: | Babybel73 |
Hallo MathePower
$ [mm] \cos\left(2\cdot{}x\right)=\cos^{2}\left(x\right)-\sin^{2}\left(x\right)=1-2\cdot{}\sin^{2}\left(x\right)=2\cdot{}\cos^{2}\left(x\right)-1 [/mm] $
Ach so, dann ist aber die Konstante C & D von [mm] y(x)=C*e^{-0.5*cos(x)} [/mm] & [mm] y(x)=D*e^{sin(x)^2} [/mm] eine andere.
Vielen Dank für deine Antwort.
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