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DGL. 2. Ordnung: Rückfrage, Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:36 Sa 17.07.2010
Autor: Blinkly

Aufgabe
Berechnen Sie die Lösungen von
$y'' = [mm] \frac{2x^3-x}{y'}$ [/mm]

$y(2) = [mm] \sqrt(3)$ [/mm]

$y'(2) = [mm] 2\sqrt(3)$ [/mm]

Hallo :-)

Ich habe leider noch eine Aufgabe gefunden, die ich bisher nicht lösen kann trotz mehrerer Versuche ;-)

Der Hinweis zu dieser Aufgabe war, dass man sie auch mit Mitteln lösen kann, die nur DGLs erster Ordnung beinhalten, somit ist mein Ansatz folgender:

$y' = p(x)$

[mm] $\Rightarrow [/mm] p' = [mm] (2x^3-x)\cdot \frac{1}{p}$ [/mm]

Das wäre dann also eine DGL vom Typ getrennte Veränderliche, also:

[mm] $\int [/mm] p\ dp = [mm] \int 2x^3-x\ [/mm] dx + [mm] c_1$ [/mm]

[mm] $\frac{p^2}{2} [/mm] = [mm] \frac{x^4-x^2}{2} [/mm] + [mm] c_1$ [/mm]

mit $p = y'$

y' = [mm] \sqrt{x^4 - x^2 + \tilde c_1}$ [/mm]

Mit $y'(2) = [mm] 2\sqrt(3)$: [/mm]

[mm] $\tilde c_1 [/mm] = 0$

[mm] $\Rightarrow [/mm] y' = [mm] \sqrt{x^2-1} \cdot [/mm] x$

Nun müsste ich ja, wenn ich mich nicht täusche, "einfach" [mm] $\int [/mm] y'\ dx$ berechnen, allerdings scheint es da sogar ins komplexe zu gehen, so dass ich denke, ich habe bereits vorher einen Fehler gemacht, ich sehe nur leider nicht, wo ;-)

Ich hoffe auf Eure Hilfe :-)

Grüße
Blinkly


PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
DGL. 2. Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:49 Sa 17.07.2010
Autor: rainerS

Hallo!

> Berechnen Sie die Lösungen von
> [mm]y'' = \frac{2x^3-x}{y'}[/mm]
>  
> [mm]y(2) = \sqrt(3)[/mm]
>  
> [mm]y'(2) = 2\sqrt(3)[/mm]
>  Hallo :-)
>  
> Ich habe leider noch eine Aufgabe gefunden, die ich bisher
> nicht lösen kann trotz mehrerer Versuche ;-)
>  
> Der Hinweis zu dieser Aufgabe war, dass man sie auch mit
> Mitteln lösen kann, die nur DGLs erster Ordnung
> beinhalten, somit ist mein Ansatz folgender:
>  
> [mm]y' = p(x)[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow p' = (2x^3-x)\cdot \frac{1}{p}[/mm]
>  
> Das wäre dann also eine DGL vom Typ getrennte
> Veränderliche, also:
>  
> [mm]\int p\ dp = \int 2x^3-x\ dx + c_1[/mm]
>  
> [mm]\frac{p^2}{2} = \frac{x^4-x^2}{2} + c_1[/mm]
>  
> mit [mm]p = y'[/mm]
>  
> y' = [mm]\sqrt{x^4 - x^2 + \tilde c_1}$[/mm]
>  
> Mit [mm]y'(2) = 2\sqrt(3)[/mm]:
>  
> [mm]\tilde c_1 = 0[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow y' = \sqrt{x^2-1} \cdot x[/mm]

>
[ok]

> Nun müsste ich ja, wenn ich mich nicht täusche, "einfach"
> [mm]\int y'\ dx[/mm] berechnen, allerdings scheint es da sogar ins
> komplexe zu gehen,

Wieso denn das? Du musst doch nur [mm] $t=x^2$ [/mm] substituieren.

Viele Grüße
   Rainer

Bezug
                
Bezug
DGL. 2. Ordnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:09 Sa 17.07.2010
Autor: Blinkly


> > [mm]\Rightarrow y' = \sqrt{x^2-1} \cdot x[/mm]
>  >
>  [ok]

Danke =)
  

> > Nun müsste ich ja, wenn ich mich nicht täusche, "einfach"
> > [mm]\int y'\ dx[/mm] berechnen, allerdings scheint es da sogar ins
> > komplexe zu gehen,
>  
> Wieso denn das? Du musst doch nur [mm]t=x^2[/mm] substituieren.
>  
> Viele Grüße
>     Rainer

Oh je, oh je...Du hast völlig Recht, ich hab fast alles noch ein paar mal durchgerechnet, damit es nicht passiert, dass ich solch eine "doofe" Frage stell, aber das Integral...angeschaut, noch ohne das $x$ ausgeklammert zu haben und abgehakt *schäm*

Danke Dir trotzdem für Deine schnelle Antwort :)

Grüße
Blinkly

Bezug
                
Bezug
DGL. 2. Ordnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:27 Sa 17.07.2010
Autor: Blinkly

Um eben die Aufgabe zu beenden, der Vollständigkeit halber ;-)

> [mm] $\Rightarrow [/mm] y' = [mm] \sqrt{x^2-1} \cdot [/mm] x$

[mm] $\int \sqrt{x^2-1} \cdot [/mm] x\ dx$ mit $t = [mm] x^2$, [/mm] $x = [mm] \sqrt{x}$ [/mm] und [mm] $\frac{dt}{dx} [/mm] = 2x = [mm] 2\sqrt{t}$ [/mm]

$= [mm] \frac{1}{2} \int \sqrt{t-1}\ [/mm] dt$

$= [mm] \frac{1}{3} \cdot (x^2-1)^{\frac{3}{2}} [/mm] + [mm] c_2$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow [/mm] y = [mm] \frac{(x^2-1)^{\frac{3}{2}}}{3} [/mm] + [mm] c_2$ [/mm]

Aus y(2) = [mm] \sqrt{3} [/mm] folgt:

[mm] $\frac{(2^2-1)^{\frac{3}{2}}}{3} [/mm] + [mm] c_2 [/mm] = [mm] \sqrt{3}$ [/mm]

[mm] $c_2 [/mm] = 0$

[mm] $\Rightarrow y=\frac{(x^2-1)^{\frac{3}{2}}}{3}$ [/mm]

Grüße
Blinkly

Bezug
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