DGL-System (Eliminationsmeth.) < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:28 Mo 04.07.2005 | | Autor: | Liliaaa |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:[www.uni-protokolle.de]
ist aber schon über 4 Stunden.
Hallo,
ich bin neu hier, aber finde es ziemlich gut. Werde wohl jetzt öfters reinschauen.
Meine Frage geht über DGL.
Ich schreibe jetzt einfach mal die Frage und soweit wie ich gekommen bin.
Man soll die Lösung des Anfangswertproblems mit Hilfe der Eliminationsmethode bestimmen.
[mm] \vec y ' =
\pmat{ 3 & -2 \\ 2 & -1 }
*\vec y +
\vektor{t*e^t \\ 0}
[/mm]
[mm] \vec{y} [/mm] (0)=0
okay.... ich "eliminiere" f' = D
und krieg dann das Gleichungssystem:
[mm] (D-3)y_1 [/mm] + 2 [mm] y_2 [/mm] = [mm] t*e^t
[/mm]
-2 [mm] y_1 [/mm] + [mm] (D+1)y_2 [/mm] = 0
1. Gleichung * (D+1)
2. Gleichung * -2
-> (D² - 2D + 1) [mm] y_1 [/mm] = [mm] t*e^t [/mm] * (D+1)
zurückeliminieren gibt dann
y''-2y'+y = [mm] 2*t*e^t
[/mm]
stimmt die Lösung bis dahin?
daraus die charakteristische Gleichung
l²-2l+l = 0 => l1,2 = 1
und somit yh = [mm] C_1 [/mm] * [mm] e^x [/mm] + [mm] C_2 [/mm] * [mm] e^x
[/mm]
stimmt das so?
leider weiß ich jetzt nicht wie's weitergehen soll, damit ich die inhomogene Lösung bekomme (irgendwie weiß ich nie welcher ansatz usw.)
aber vielleicht kann mir jem. tipps dafür geben wie ich da rangehen muss. wäre sehr hilfreich.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:07 Mo 04.07.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Lilia
> Man soll die Lösung des Anfangswertproblems mit Hilfe der
> Eliminationsmethode bestimmen.
>
>
> [mm]\vec y ' =
\pmat{ 3 & -2 \\ 2 & -1 }
*\vec y +
\vektor{t*e^t \\ 0}
[/mm]
>
> [mm]\vec{y}[/mm] (0)=0
>
> okay.... ich "eliminiere" f' = D
> und krieg dann das Gleichungssystem:
>
> [mm](D-3)y_1[/mm] + 2 [mm]y_2[/mm] = [mm]t*e^t[/mm]
> -2 [mm]y_1[/mm] + [mm](D+1)y_2[/mm] = 0
>
> 1. Gleichung * (D+1)
> 2. Gleichung * -2
>
> -> (D² - 2D + 1) [mm]y_1[/mm] = [mm]t*e^t[/mm] * (D+1)
>
> zurückeliminieren gibt dann
> y''-2y'+y = [mm]2*t*e^t[/mm]
Soweit richtig!
>
> stimmt die Lösung bis dahin?
Ja!
>
> daraus die charakteristische Gleichung
>
> l²-2l+l = 0 => l1,2 = 1
richtig
> und somit yh = [mm]C_1[/mm] * [mm]e^x[/mm] + [mm]C_2[/mm] * [mm]e^x[/mm]
>
> stimmt das so?
leider nein, denn das könntest du ja zu y= [mm] e^{x}*(c1+c2)=c*e^x [/mm] vereinfachen.
Habt ihr nicht über doppelte Nullstellen gesprochen?
2. Lösg t*e^(t)!
> leider weiß ich jetzt nicht wie's weitergehen soll, damit
> ich die inhomogene Lösung bekomme (irgendwie weiß ich nie
> welcher ansatz usw.)
> aber vielleicht kann mir jem. tipps dafür geben wie ich da
> rangehen muss. wäre sehr hilfreich.
entweder gut raten, fällt mir aber heut Nacht nichts mehr ein, oder Variation der Konstanten!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:18 Mo 04.07.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Morgens denkt sich besser als in der Nacht. Ich habs probiert mit [mm] y=At^{3}*e^{t} [/mm] und sgeht für A=1/3.
Auf dasselbe Ergebnis kommt man, wenn man C2 als C2(x) einsetzt. und Variation der Konstamtem macht.
Bei dieser Art Fkt versuch ich immer sowas wie [mm] A*t^{k}*e^{t} [/mm] mit k= 2 .3, hier hats bei 3 erst geklappt!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:47 Mo 04.07.2005 | | Autor: | Liliaaa |
Hallo,
danke schon mal.....doppelte Nullstelle......alles klar 
Funktionert auch so ein ansatz wie t² * (A+b) * [mm] e^t [/mm] ?
doppelte Resonanz oder sowas?
A = 1/3 und B = 1/2?
[mm] y_1 [/mm] = [mm] (1/3t³+1/2t²+c1+c2*t)*e^t
[/mm]
[mm] y_2 [/mm] = [mm] (1/3t³+c2*t+c1-1/2c2)*e^t
[/mm]
mit Anfangswertproblem:
c1=c2=0
[mm] y_1 [/mm] = (1/3t³+1/2t²) * [mm] e^t
[/mm]
[mm] y_2 [/mm] = 1/3 t³ * [mm] e^t
[/mm]
gruß Liliaaa
oh nein....B = 0, oder?
|
|
|
| |
|
Hallo Liliaaa,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Funktionert auch so ein ansatz wie t² * (A+b) * [mm]e^t[/mm] ?
> doppelte Resonanz oder sowas?
>
Der Ansatz funktioniert auch.
Ist hier t² * (At+b) * [mm]e^t[/mm] gemeint?
> A = 1/3 und B = 1/2?
>
Falls ja, muß B 0 sein.
> [mm]y_1[/mm] = [mm](1/3t³+1/2t²+c1+c2*t)*e^t[/mm]
> [mm]y_2[/mm] = [mm](1/3t³+c2*t+c1-1/2c2)*e^t[/mm]
>
> mit Anfangswertproblem:
>
> c1=c2=0
> [mm]y_1[/mm] = (1/3t³+1/2t²) * [mm]e^t[/mm]
> [mm]y_2[/mm] = 1/3 t³ * [mm]e^t[/mm]
>
> gruß Liliaaa
>
> oh nein....B = 0, oder?
Ja, siehe oben.
Der einzig richtige Ansatz ist: [mm]y_{p} (t)\; = \;A\;t^{2} \;t\;e^{t} \; = \;A\;t^{3} \;e^{t}[/mm].
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:03 Mo 04.07.2005 | | Autor: | Liliaaa |
Jetzt hab ich nochmal ne Frage.
Und zwar handelt es sich um folgende Aufgabe:
[mm] \vec{y}' [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & -9 \\ 1 & -5 } \vec{y} [/mm] + 144e^-2t [mm] \vektor{t²ln|t| \\ 0}
[/mm]
Die homogene Lsg ist wie immer kein Problem.
Aber die inhomogene.....
jetzt hab ich da was mit ln
das hatte ich ja noch nie....hilfe....
dazu fällt mir jetzt gar kein ansatz ein.
|
|
|
| |
|
das sind ja G76 und 77 ;)
bist bei Harro oder beim Kahnert?
leider komm ich auch immer nur bis zu [mm] y_{h}...
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo Liliaaa,
> Jetzt hab ich nochmal ne Frage.
> Und zwar handelt es sich um folgende Aufgabe:
>
> [mm]\vec{y}'[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & -9 \\ 1 & -5 } \vec{y}[/mm] + 144e^-2t
> [mm]\vektor{t²ln|t| \\ 0}[/mm]
>
> Die homogene Lsg ist wie immer kein Problem.
> Aber die inhomogene.....
> jetzt hab ich da was mit ln
> das hatte ich ja noch nie....hilfe....
> dazu fällt mir jetzt gar kein ansatz ein.
versuche mal den Ansatz mit der Variation der Konstanten:
[mm]y(t)\; = \;c_{1} (t)\;e^{ - 2t} \; + \;c_{2} (t)\;t\;e^{ - 2t} [/mm]
wobei
[mm]y(t)\; = \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
{y_1 (t)} \\
{y_2 (t)} \\
\end{array} } \right),\;c_1 (t)\; = \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
{c_{11} (t)} \\
{c_{21} (t)} \\
\end{array} } \right),\;c_2 (t)\; = \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
{c_{12} (t)} \\
{c_{22} (t)} \\
\end{array} } \right)[/mm]
Einsetzen in das DGL-System und Du erhältst dann 4 Gleichungen in 4 Unbekannten. Je zwei für [mm]y_{1}[/mm] und [mm]y_{2}[/mm].
Daraus ergeben sich dann die [mm]c_{11}(t),\;c_{12}(t)[/mm] bzw. [mm]c_{21}(t),\;c_{22}(t)[/mm]
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:12 Mo 04.07.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Schreib doch mal erst die Dgl und die hom. Lösung auf, dann ist leichter raten, denn das auch zu machen hab ich keine Lust. allerdings keine Garantie, dass ich dann helfen kann.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:16 Di 05.07.2005 | | Autor: | Liliaaa |
hallo leduart,
also für die DGL hab ich [mm] y_2'' [/mm] + [mm] 4y_2'+4y_2
[/mm]
charakteristische Gleichung: [mm] \lambda² [/mm] + 4 [mm] \lambda [/mm] + 4
doppelte Nst. -2
[mm] y_h [/mm] = [mm] c_1*e^{-2t} [/mm] + [mm] c_2*t*e^{-2t}
[/mm]
|
|
|
|
