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DGL-System: Anfangswertproblem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:07 Mi 20.10.2010
Autor: Wieselwiesel

Aufgabe
[mm] \dot{x}=-4x-6y+6e^{3t} [/mm]
[mm] \dot{y}=3x+5y-3e^{3t} [/mm]
[mm] \dot{z}=-3x-6y-z+9e^{3t} [/mm]

[mm] x(0)=\bruch{5}{2} [/mm]
[mm] y(0)=\bruch{-3}{4} [/mm]
[mm] z(0)=\bruch{9}{4} [/mm]

Hallo,

Ich hab Probleme bei diesem AWP ich hab schon die Eigenwerte bestimmt: [mm] \lambda_{1}=2 [/mm]
[mm] \lambda_{2}=-1 [/mm]
und die Eigenvektoren:
[mm] EV_{1}=\vektor{1 \\ -1 \\ 1} [/mm]
[mm] EV_{2}=\vektor{1 \\ -2 \\ 0} [/mm]
und die homogene Lösung:
[mm] y_{h}=C1 \vektor{1 \\ -1 \\ 1} e^{2t}+ [/mm] C2 [mm] \vektor{1 \\ -2 \\ 0} e^{-t} [/mm]

Stimmt das bis jetzt?

Jetzt hab ich Probleme bei der partikulären Lösung, ich wäre von dem Ansatz [mm] y_{p}= \vektor{A \\ B \\ C} e^{t} [/mm] ausgegangen, nur häng ich jetzt. Ich weiss nicht wie ich da zu einer Form komme damit ich alle Störterme eliminiere und dann C ausrechne. Bei anderen DGL hab ich das schon geschafft, einfach ableiten, gleichsetzen, einsetzen, ausrechnen, nur hier geht das irgendwie nicht.

Kann mir jemand helfen?

        
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DGL-System: Anfangswertproblem: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:25 Mi 20.10.2010
Autor: wieschoo

Für die homegene Gleichung betrachtest du die Matrix

[mm] \left( \begin {array}{ccc} -4&-6&0\\ 3&5&0\\ -3&-6&-1\end {array} \right)[/mm]

mit dem charakteristischen Polynom: [mm]-2+\lambda^3-3\lambda[/mm]. Dabei tritt die -1 als doppelte Nullstelle auf. Das sollte auch im Ansatz berücksichtigt werden.

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DGL-System: Anfangswertproblem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:46 Mi 20.10.2010
Autor: Wieselwiesel

Ja klar, hatte ich auch hier in meinen Rechnungen stehen und habs dann übersehen. Also müsste dann die homogene lauten:

$ [mm] y_{h}=C1 \vektor{1 \\ -1 \\ 1} e^{2t}+ C2\vektor{1 \\ -2 \\ 0} e^{-t} [/mm] + t C3 [mm] \vektor{1 \\ -2 \\ 0} e^{-t} [/mm] $
Oder?

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DGL-System: Anfangswertproblem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:05 Mi 20.10.2010
Autor: MathePower

Hallo Wieselwiesel,

> Ja klar, hatte ich auch hier in meinen Rechnungen stehen
> und habs dann übersehen. Also müsste dann die homogene
> lauten:
>  
> [mm]y_{h}=C1 \vektor{1 \\ -1 \\ 1} e^{2t}+ C2\vektor{1 \\ -2 \\ 0} e^{-t} + t C3 \vektor{1 \\ -2 \\ 0} e^{-t}[/mm]


Der Vektor [mm]\vektor{1 \\ -2 \\ 0} [/mm] ist kein Eigenvektor zum Eigenwert -1.


>  
> Oder?


Nein, das stimmt nicht.


Berechne doch alle möglichen Vektoren v, die die Gleichung

[mm]\pmat{-4-\left(-1\right) & -6 & 0 \\ 3 & 5-\left(-1\right) & 0 \\ -3 & -6 & -1-\left(-1\right) }*\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}[/mm]

erfüllen.


Gruss
MathePower

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DGL-System: Anfangswertproblem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:19 Do 21.10.2010
Autor: Wieselwiesel

Das wär ja dann
[mm] \pmat{ -3 & -6 & 0 \\ 3 & 6 & 0 \\ -3 & -6 & 0} [/mm]
da würde ich mit Gauss auf
[mm] \pmat{ -3 & -6 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0} [/mm]
kommen, und das würde x=-2y ergeben daraus hätte ich eben dann den Vektor $ [mm] \vektor{1 \\ -2 \\ 0} [/mm] $ berechnet. Was mach ich falsch?
Wie geht denn die Formel für die homogene wenn 2 verschiedene Nullstellen sind wovon eine doppelt ist?


Bezug
                                        
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DGL-System: Anfangswertproblem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:52 Do 21.10.2010
Autor: Calli


> ...
> kommen, und das würde x=-2y ergeben (was noch richtig ist) daraus hätte ich eben
> dann den Vektor [mm]\vektor{1 \\ -2 \\ 0}[/mm] berechnet. Was mach
> ich falsch?

Hallo,
wenn x=1 ist ,
was ergibt sich dann für y ???

Wähle x=2 !

Ciao Calli

PS: Den zweiten Eigenvektor zum Eigenwert -1 erhält man mit x=y=0 !

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DGL-System: Anfangswertproblem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:35 Do 21.10.2010
Autor: Wieselwiesel

Waaah! Natürlich ist der Eigenvektor dann
$ [mm] \vektor{1 \\ -\bruch{1}{2} \\ 0} [/mm] $
Boah, war echt spät gestern...

Aber wie kann ich mit dem Eigenwert -1 aus dem sich die Matrix $ [mm] \pmat{ -3 & -6 & 0 \\ 3 & 6 & 0 \\ -3 & -6 & 0} [/mm] $ ergibt dann mit x=y=0 rechnen? Das würde ja den nullvektor ergeben, der kann ja kein Eigenvektor sein...

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DGL-System: Anfangswertproblem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:08 Do 21.10.2010
Autor: schachuzipus

Hallo Wiesel,


> Waaah! Natürlich ist der Eigenvektor dann
>  [mm]\vektor{1 \\ -\bruch{1}{2} \\ 0}[/mm]

Ja, oder [mm]\vektor{2\\ -1\\ 0}[/mm]

>  Boah, war echt spät
> gestern...
>  
> Aber wie kann ich mit dem Eigenwert -1 aus dem sich die
> Matrix [mm]\pmat{ -3 & -6 & 0 \\ 3 & 6 & 0 \\ -3 & -6 & 0}[/mm]
> ergibt dann mit x=y=0 rechnen? Das würde ja den nullvektor
> ergeben, der kann ja kein Eigenvektor sein...

Bringe doch die Matrix in ZSF und berechne den Eigenraum zu [mm] $\lambda=-1$. [/mm]

Das gibt [mm]\pmat{1&2&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0}[/mm]. Mithin 2 frei wählbare Parameter

Wähle also [mm]z=t, t\in\IR[/mm] und [mm]y=s, s\in\IR[/mm]

Dann hast du mit Zeile1: [mm]x=-2y=-2s[/mm]

Also ist ein Lösungsvektor [mm]\vektor{x\\ y\\ z}[/mm] von der Gestalt [mm]\vektor{x\\ y\\ z}=\vektor{-2s\\ s\\ t}[/mm] mit [mm]s,t\in\IR[/mm]

[mm]=s\cdot{}\vektor{-2\\ 1\\ 0}+t\cdot{}\vektor{0\\ 0\\ 1}[/mm]

Mit zB. [mm]s=-1[/mm] und [mm]t=1[/mm] hast du 2 linear unabh. Eigenvektoren [mm]\vektor{2\\ -1\\ 0}[/mm] und [mm]\vektor{0\\ 0\\ 1}[/mm]

Daher das [mm]x=y=0[/mm]

Gruß

schachuzipus


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DGL-System: Anfangswertproblem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:30 Do 21.10.2010
Autor: Wieselwiesel

ooooh, danke! Ist ja klar! Mann ich sollte ein bisschen genauer sein...

Also ist die homogene Lösung:
$ [mm] y_{h}=C1 \vektor{1 \\ -1 \\ 1} e^{2t}+ [/mm] C2 [mm] \vektor{1 \\ - \bruch{1}{2} \\ 0} [/mm] t [mm] e^{-t}+ [/mm] C3 [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] t [mm] e^{-t} [/mm]  $
Oder?

Und wie gehts dann mit der partikulären Lösung weiter?

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DGL-System: Anfangswertproblem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:40 Do 21.10.2010
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> ooooh, danke! Ist ja klar! Mann ich sollte ein bisschen
> genauer sein...
>
> Also ist die homogene Lösung:
> [mm]y_{h}=C1 \vektor{1 \\ -1 \\ 1} e^{2t}+ C2 \vektor{1 \\ - \bruch{1}{2} \\ 0} t e^{-t}+ C3 \vektor{0 \\ 0 \\ 1} t e^{-t} [/mm]

Da ist ein [mm]t[/mm] zuviel. Und setze die Indizes doch schöner mit dem Unterstrich _ , also c_1für [mm]c_1[/mm]

Richtig: [mm]y_h=c_1\vektor{1\\ -1\\ 1}e^{2t}+c_2\underbrace{\vektor{2\\ -1\\ 0}}_{\text{zum schöneren Weiterrechnen}}e^{-t}+c_3\vektor{0\\ 0\\ 1}te^{-t}[/mm]

>
> Oder?
>
> Und wie gehts dann mit der partikulären Lösung weiter?

Hmm. Variation der Konstanten?

Gruß

schachuzipus


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DGL-System: Anfangswertproblem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:59 Do 21.10.2010
Autor: Wieselwiesel

Danke! Gut jetzt hab ich das was ich eigentlich schon beim schreiben des Forumseintrags hätte haben sollen, die homogene Lösung. Mein Problem ist eben da den Ansatz anzuwenden, weil ich das schon mit DGL ohne Vektorform gemacht hab, aber hier weiss ich nicht wie ich anfange und wie das in einem DGL System mit den verschiedenen Störthermen ist.

Bezug
                                                                                        
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DGL-System: Anfangswertproblem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:33 Do 21.10.2010
Autor: MathePower

Hallo Wieselwiesel,

> Danke! Gut jetzt hab ich das was ich eigentlich schon beim
> schreiben des Forumseintrags hätte haben sollen, die
> homogene Lösung. Mein Problem ist eben da den Ansatz
> anzuwenden, weil ich das schon mit DGL ohne Vektorform
> gemacht hab, aber hier weiss ich nicht wie ich anfange und
> wie das in einem DGL System mit den verschiedenen
> Störthermen ist.


Da der Störtherm  ein konstantes Polynom in Verbindung mit einer Exponentialfunktion ist, kannst Du auch so ansetzen, falls dieser
Störtherm oder ein Teil von diesem nicht zugleich Lösung des
homogenen DGL-Systems ist.

Demach setze hier so an:

[mm]y_{p}\left(t\right)=\overrightarrow{a}*e^{3*t}=\pmat{a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3}}*e^{3*t}[/mm]

Setze diesen Ansatz in das inhomogene DGL-System ein,
und Du erhältst ein Gleichungssystem für die Unbekannten [mm]a_{k}, \ k=1,2,3[/mm].


Gruss
MathePower

Bezug
        
Bezug
DGL-System: Anfangswertproblem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:44 Mi 20.10.2010
Autor: MathePower

Hallo Wieselwiesel,

> [mm]\dot{x}=-4x-6y+6e^{3t}[/mm]
>  [mm]\dot{y}=3x+5y-3e^{3t}[/mm]
>  [mm]\dot{z}=-3x-6y-z+9e^{3t}[/mm]
>  
> [mm]x(0)=\bruch{5}{2}[/mm]
>  [mm]y(0)=\bruch{-3}{4}[/mm]
>  [mm]z(0)=\bruch{9}{4}[/mm]
>  Hallo,
>  
> Ich hab Probleme bei diesem AWP ich hab schon die
> Eigenwerte bestimmt: [mm]\lambda_{1}=2[/mm]
> [mm]\lambda_{2}=-1[/mm]
>  und die Eigenvektoren:
>  [mm]EV_{1}=\vektor{1 \\ -1 \\ 1}[/mm]
>  [mm]EV_{2}=\vektor{1 \\ -2 \\ 0}[/mm]


-1 ist doch doppelter Eigenwert, daher benötigst Du noch einen Eigenvektor
zu diesem Eigenwert.

Die 2 gefundenen Eigenvektoren stimmen.


>  
> und die homogene Lösung:
>  [mm]y_{h}=C1 \vektor{1 \\ -1 \\ 1} e^{2t}+[/mm] C2 [mm]\vektor{1 \\ -2 \\ 0} e^{-t}[/mm]
>  
> Stimmt das bis jetzt?
>  
> Jetzt hab ich Probleme bei der partikulären Lösung, ich
> wäre von dem Ansatz [mm]y_{p}= \vektor{A \\ B \\ C} e^{t}[/mm]
> ausgegangen, nur häng ich jetzt. Ich weiss nicht wie ich
> da zu einer Form komme damit ich alle Störterme eliminiere
> und dann C ausrechne. Bei anderen DGL hab ich das schon
> geschafft, einfach ableiten, gleichsetzen, einsetzen,
> ausrechnen, nur hier geht das irgendwie nicht.
>  
> Kann mir jemand helfen?



Gruss
MathePower

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