DGL-System - 3 gleiche Eigenw. < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] y'=\pmat{-1&1&2\\-1&1&1\\-2&1&3}y
[/mm]
[mm] y(0)=\pmat{1\\0\\1} [/mm] |
Hallo,
es geht um obige Aufgabe.
Die Eigenwerte sind [mm] \lambda_{1,2,3}=1
[/mm]
[mm] (A-\lambda I)=\pmat{-2&1&2\\-1&0&1\\-2&1&2}
[/mm]
der erste Eigenvektor ergibt somit [mm] \vec{y_1}=\pmat{1\\0\\1}
[/mm]
Dann benutze ich folgenden Ansatz:
[mm] y_{2}=(\vec{a}x+\vec{b})e^{x}
[/mm]
[mm] y'_{2}=(\vec{a}x+\vec{a}+\vec{b})e^{x}
[/mm]
[mm] =>(\vec{a}x+\vec{a}+\vec{b})e^{x}=A(\vec{a}x+\vec{b})e^{x}
[/mm]
KV:
[mm] x^0: \vec{a}+\vec{b}=A\vec{b} =>(A-\lambda I)\vec{b}=\vec{a}
[/mm]
[mm] x^1: \vec{a}=A\vec{a} =>(A-\lambda I)=\vec{0}
[/mm]
=> [mm] \vec{a} [/mm] ist EV von [mm] \lambda=1 [/mm] mit [mm] \vec{a}=\pmat{1\\0\\1}
[/mm]
[mm] \vmat{-2&1&2 | 1\\-1&0&1 | 0\\-2&1&2 | 1}
[/mm]
[mm] \vmat{-1&0&1 | 0\\0&1&0 | 1\\0&1&0 | 1}
[/mm]
[mm] \vmat{-1&0&1 | 0\\0&1&0 | 1\\0&0&0 | 0}
[/mm]
Hier ergibt sich [mm] \vec{b}=\pmat{1\\1\\1}
[/mm]
Meine bisherigen Basislösungen sind also:
[mm] \vec{y_1}=\pmat{1\\0\\1}e^x
[/mm]
[mm] \vec{y_2}=(\pmat{1\\0\\1}x+\pmat{1\\1\\1})e^x
[/mm]
Stimmt das bisher?
Wie komme ich jetzt auf die dritte?
Wenn ich den Ansatz [mm] y_3=(\vec{a}x^2+\vec{b}x+\vec{c})e^x [/mm] benutze steh ich nach dem KV mit 3 Gleichungen da, nur was machen mit denen...
[mm] (A-\lambda I)\vec{c}=\vec{b}
[/mm]
[mm] (A-\lambda I)\vec{b}=\vec{a}
[/mm]
[mm] (A-\lambda I)\vec{a}=\vec{0}
[/mm]
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Hallo Fl4shM4k3r,
> [mm]y'=\pmat{-1&1&2\\-1&1&1\\-2&1&3}y[/mm]
> [mm]y(0)=\pmat{1\\0\\1}[/mm]
>
> Hallo,
> es geht um obige Aufgabe.
> Die Eigenwerte sind [mm]\lambda_{1,2,3}=1[/mm]
> [mm](A-\lambda I)=\pmat{-2&1&2\\-1&0&1\\-2&1&2}[/mm]
> der erste
> Eigenvektor ergibt somit [mm]\vec{y_1}=\pmat{1\\0\\1}[/mm]
>
> Dann benutze ich folgenden Ansatz:
> [mm]y_{2}=(\vec{a}x+\vec{b})e^{x}[/mm]
> [mm]y'_{2}=(\vec{a}x+\vec{a}+\vec{b})e^{x}[/mm]
>
> [mm]=>(\vec{a}x+\vec{a}+\vec{b})e^{x}=A(\vec{a}x+\vec{b})e^{x}[/mm]
>
> KV:
> [mm]x^0: \vec{a}+\vec{b}=A\vec{b} =>(A-\lambda I)\vec{b}=\vec{a}[/mm]
>
> [mm]x^1: \vec{a}=A\vec{a} =>(A-\lambda I)=\vec{0}[/mm]
>
> => [mm]\vec{a}[/mm] ist EV von [mm]\lambda=1[/mm] mit [mm]\vec{a}=\pmat{1\\0\\1}[/mm]
> [mm]\vmat{-2&1&2 | 1\\-1&0&1 | 0\\-2&1&2 | 1}[/mm]
>
> [mm]\vmat{-1&0&1 | 0\\0&1&0 | 1\\0&1&0 | 1}[/mm]
>
> [mm]\vmat{-1&0&1 | 0\\0&1&0 | 1\\0&0&0 | 0}[/mm]
>
> Hier ergibt sich [mm]\vec{b}=\pmat{1\\1\\1}[/mm]
>
> Meine bisherigen Basislösungen sind also:
> [mm]\vec{y_1}=\pmat{1\\0\\1}e^x[/mm]
> [mm]\vec{y_2}=(\pmat{1\\0\\1}x+\pmat{1\\1\\1})e^x[/mm]
>
> Stimmt das bisher?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wie komme ich jetzt auf die dritte?
> Wenn ich den Ansatz [mm]y_3=(\vec{a}x^2+\vec{b}x+\vec{c})e^x[/mm]
> benutze steh ich nach dem KV mit 3 Gleichungen da, nur was
> machen mit denen...
> [mm](A-\lambda I)\vec{c}=\vec{b}[/mm]
> [mm](A-\lambda I)\vec{b}=\vec{a}[/mm]
>
Hier muss es doch lauten:
[mm](A-\lambda I)\vec{b}=\blue{2}\vec{a}[/mm]
> [mm](A-\lambda I)\vec{a}=\vec{0}[/mm]
Aus diesem System bestimmst Du jetzt die Vektoren.
Gruss
MathePower
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Hab ich das jetzt richtig verstanden das [mm] \vec{v_3}=\pmat{0\\-1\\1} [/mm] ist und somit meine 3.Basislösung wie folgt aussieht:
[mm] \vec{y_3}=(\pmat{1\\0\\1}x^2+\pmat{1\\1\\1}x+\pmat{0\\-1\\1})??
[/mm]
Dann hätte ich also letztendlich:
[mm] \vec{y}=e^x[C_1*\pmat{1\\0\\1}+C_2*(\pmat{1\\0\\1}x+\pmat{1\\1\\1})+C_3*(\pmat{1\\0\\1}x^2+\pmat{1\\1\\1}x+\pmat{0\\-1\\1})]
[/mm]
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Hallo Fl4shM4k3r,
> Hab ich das jetzt richtig verstanden das
> [mm]\vec{v_3}=\pmat{0\\-1\\1}[/mm] ist und somit meine
> 3.Basislösung wie folgt aussieht:
>
> [mm]\vec{y_3}=(\pmat{1\\0\\1}x^2+\pmat{1\\1\\1}x+\pmat{0\\-1\\1})??[/mm]
>
Diese Lösung ist keine Basislösung des DGL-Systems.
Die Vektoren vor dem linearen und konstanten Anteil sind noch
mit 2 zu multiplizieren, da erst dies eine Basislösung des DGL-Systems ist.
> Dann hätte ich also letztendlich:
>
> [mm]\vec{y}=e^x[C_1*\pmat{1\\0\\1}+C_2*(\pmat{1\\0\\1}x+\pmat{1\\1\\1})+C_3*(\pmat{1\\0\\1}x^2+\pmat{1\\1\\1}x+\pmat{0\\-1\\1})][/mm]
>
Gruss
MathePower
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