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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:10 Mi 28.01.2015 | | Autor: | Trikolon |
| Aufgabe | | [mm] y'=\pmat{1 & -1\\ 4 & -3}y [/mm] ist zu lösen. |
Hallo,
Eigenwert ist -1 (doppelt)
Eigenvektor ist u= [mm] \vektor{0,5 \\ 1}, [/mm] zugehöriger Hauptvektor ist [mm] v=\vektor{1/4 \\ 0}.
[/mm]
Damit [mm] y(x)=c_1e^{-x} \vektor{0,5 \\ 1}+c_2e^{-x} (\vektor{0,5 \\ 1}x+\vektor{1/4 \\ 0})
[/mm]
Ist das soweit ok?
Ich bin ziemlich verwirrt, weil Wolfram Alpha ein ganz anderes Ergebnis ausspuckt.
Wie hängt das zusammen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:01 Mi 28.01.2015 | | Autor: | huddel |
Hey Trikolon,
hast du mal versucht es einfaach ein zu setzen und aus zu rechnen? bei mir aufm papier passt deine Lösung. Warum dir Wolfram alpha jedoch ein anderes Ergebnis ausspuckt weiß ich jedoch auch nicht genau sagen (soweit ich das sehe ist die Lösung die Wolfram alpha mir ausgespuckt hat auch falsch...)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 Mi 28.01.2015 | | Autor: | Trikolon |
Ja bei mir passt das auch. Aber es ist ja irgendwie komisch das bei Wolfram Alpha was anderes raus kommt...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:00 Mi 28.01.2015 | | Autor: | chrisno |
> Damit $ [mm] y(x)=c_1e^{-x} \vektor{0,5 \\ 1}+c_2e^{-x} (\vektor{0,5 \\ 1}x+\vektor{1/4 \\ 0}) [/mm] $
> Im Buch steht als loesung dazu: $ [mm] c_3e^{-x} \vektor{1 \\ 2} +c_4 e^{-x} \vektor{x \\2x-1} [/mm] $
Ich habe die Konstanten mal umbenannt. Ich forme um:
$ [mm] c_3\; e^{-x} \vektor{1 \\ 2} +c_4\; e^{-x}\left( x\vektor{1 \\2} + \vektor{0 \\-1} \right) [/mm] = $
$ [mm] c_3\; e^{-x} \vektor{1 \\ 2} [/mm] +2 [mm] \cdot c_4\; e^{-x}\left( x\vektor{0,5 \\1} + \vektor{0 \\-0,5} + \vektor{-1/4 \\0}+ \vektor{1/4 \\0}\right) [/mm] = $
$ [mm] c_3\; e^{-x} \vektor{1 \\ 2} [/mm] +2 [mm] \cdot c_4\; e^{-x}\left( x\vektor{0,5 \\1} + \vektor{1/4 \\0}\right)+2 \cdot c_4\; e^{-x} \vektor{-0,25 \\-0,5} [/mm] = $
$ [mm] c_3\; e^{-x} \vektor{1 \\ 2} [/mm] -0,5 [mm] \cdot c_4\; e^{-x} \vektor{1 \\2}+2 \cdot c_4\; e^{-x}\left( x\vektor{0,5 \\1} + \vektor{1/4 \\0}\right) [/mm] = $
$ [mm] (c_3-0,5 c_4) e^{-x} \vektor{1 \\ 2}+2 \cdot c_4\; e^{-x}\left( x\vektor{0,5 \\1} + \vektor{1/4 \\0}\right) [/mm] = [mm] \ldots$
[/mm]
Nachtrag: da sind noch Vertipper oder Rechenfehler drin, die ich gerade nicht korrigiere.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:12 Mi 28.01.2015 | | Autor: | Trikolon |
Super, danke. Ich habe echt schon an mir gezweifelt 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:27 Mi 28.01.2015 | | Autor: | chrisno |
Bei einer ersten Betrachtung scheinen bei Wolfram Alpha nur die Konstanten anders sortiert zu sein.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:34 Mi 28.01.2015 | | Autor: | Trikolon |
Im Buch steht als loesung dazu: [mm] c_1e^{-x} \vektor{1 \\ 2} +c_2 e^{-x} \vektor{x \\2x-1}
[/mm]
Also auch etwas anderes.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:43 Do 29.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> [mm]y'=\pmat{1 & -1\\ 4 & -3}y[/mm] ist zu lösen.
> Hallo,
>
> Eigenwert ist -1 (doppelt)
>
> Eigenvektor ist u= [mm]\vektor{0,5 \\ 1},[/mm] zugehöriger
> Hauptvektor ist [mm]v=\vektor{1/4 \\ 0}.[/mm]
>
> Damit [mm]y(x)=c_1e^{-x} \vektor{0,5 \\ 1}+c_2e^{-x} (\vektor{0,5 \\ 1}x+\vektor{1/4 \\ 0})[/mm]
>
> Ist das soweit ok?
>
> Ich bin ziemlich verwirrt, weil Wolfram Alpha ein ganz
> anderes Ergebnis ausspuckt.
>
> Wie hängt das zusammen?
Ich habe Deine Lösung nicht überprüft. Setzen wir
[mm] y_1(x):=e^{-x} \vektor{0,5 \\ 1} [/mm] und [mm] y_2(x):=e^{-x} (\vektor{0,5 \\ 1}x+\vektor{1/4 \\ 0}).
[/mm]
Ob Du richtig gerechnet hast, kannst Du folgendermaßen überprüfen:
1. Zeige: [mm] y_1 [/mm] und [mm] y_2 [/mm] sind Lösungen des Systems.
2. Zeige: [mm] y_1 [/mm] und [mm] y_2 [/mm] sind linear unabhängig. Zeige also: ais [mm] a*y_1+b*y_2 [/mm] =0 fplgt a=b=0.
Sei weiter L die Menge alle Lösungen des obigen Systems. Dann ist L ein 2-dimensionaler reeller Vektorraum.
Wenn Du richtig gerechnet hast, so ist [mm] \{y_1,y_2 \} [/mm] eine Basis von L.
Wenn Wolfram Alpha etwas anderes ausgespuckt hat, so kann das daran liegen, dass Wolfram Alpha eine andere Basis von L gefunden hat.
Ich mach Dir ein anderes Beispiel: dazu sei E die x-y-Ebene im [mm] \IR^3.
[/mm]
Eine Basis von E ist z.B.:
[mm] \{\vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0}\}.
[/mm]
Das bedeutet:
(1) E= [mm] \{t*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}+s* \vektor{0 \\ 1 \\ 0}: t,s \in \IR\}.
[/mm]
Nun ist aber auch
[mm] \{\vektor{13 \\ -405 \\ 0}, \vektor{17 \\ 183\\ 0}\}
[/mm]
eine Basis von E.
Das bedeutet:
(2) E= [mm] \{u*\vektor{13 \\ -405\\ 0}+v* \vektor{17 \\ 183 \\ 0}: u,v \in \IR\}.
[/mm]
In (1) und (2) haben wir also völlig verschiedene Darstellung ein und derselben Menge E !
FRED
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