DFT Vereinfachung Geom. Reihe < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | (1) [mm] X[k]=\bruch{1}{2}*\sum_{n=0}^{31} e^{\bruch{j*pi*(2-k)*n}{16}} +e^{\bruch{-j*pi*(2+k)*n}{16}} [/mm]
[mm] (2)X[k]=\bruch{1}{2}*[\bruch{1-e^{j*2*pi*(2-k)}}{1-e^\bruch{(j*pi*(2-k))}{16}}+\bruch{1-e^{-j*2*pi*(2+k)}}{1-e^\bruch{(-j*pi*(2+k))}{16}}] [/mm] |
In einem Buch über digitale Signalverarbeitung wurde die Formel 1 durch einige Umformungen in die Ergebnisformel 2 umgeformt. Kann mir jemand sagen wie das gemacht wurde? Welche Rechenregeln wurden da benutzt? Ich brauche keinen vollständigen Lösungsweg, sondern lediglich die verwendeten Rechenregeln.
Vielen Dank für eure Antworten
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo papulasHouse und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> (1) [mm]X[k]=\bruch{1}{2}*\sum_{n=0}^{31} e^{\bruch{j*pi*(2-k)*n}{16}} +e^{\bruch{-j*pi*(2+k)*n}{16}}[/mm]
> [mm](2)X[k]=\bruch{1}{2}*[\bruch{1-e^{j*2*pi*(2-k)}}{1-e^\bruch{(j*pi*(2-k))}{16}}+\bruch{1-e^{-j*2*pi*(2+k)}}{1-e^\bruch{(-j*pi*(2+k))}{16}}][/mm]
> In einem Buch über digitale Signalverarbeitung wurde die
> Formel 1 durch einige Umformungen in die Ergebnisformel 2
> umgeformt. Kann mir jemand sagen wie das gemacht wurde?
> Welche Rechenregeln wurden da benutzt? Ich brauche keinen
> vollständigen Lösungsweg, sondern lediglich die
> verwendeten Rechenregeln.
Na, du hast doch in deiner Überschrift zum Artikel schon alles stehen:
Geometrische Reihe - bzw. hier die endliche Version:
Es ist doch bekanntermaßen [mm]\sum\limits_{k=0}^nq^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}[/mm]
Und deine Summe mit den beiden Exponentialtermen kannst du in zwei Summen aufteilen mit jeweils einem Exponentialterm, also getrennt summieren bzw. die Summenformel anwenden ...
> Vielen Dank für eure Antworten
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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Hallo schachuzipus,
vielen Dank für die schnelle Antwort. Da hatte ich ja das Ergebnis echt schon in meiner Überschrift stehen 
Gruß
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