Cosinus Bogenmaß < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:54 Fr 23.05.2008 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Berechne die Lösungen für x.
2 [mm] cos^2 [/mm] x + 3 cos x +1 = 0
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Moin!
ok, also ich habe...
2 [mm] cos^2 [/mm] x + 3 cos x +1 = 0
1. Substitution z = cos x
2 [mm] z^2 [/mm] + 3z +1 = 0 | :2
[mm] z^2 [/mm] + 1,5z + 0,5 =0
2. pq-Formel
[mm] z_{1/2} [/mm] = - 0,75 [mm] \pm \wurzel{0,75^2 - 0,5}
[/mm]
[mm] z_{1} [/mm] = -1
[mm] z_{2} [/mm] = -0,5
3. Resubstitution
-1 = cos [mm] x_{1} [/mm] => [mm] x_{1} [/mm] = [mm] \pi
[/mm]
-0,5 = cos [mm] x_{2} [/mm] => [mm] x_{2} [/mm] = [mm] \approx [/mm] 2,094
Das Ergebnis spuckt jedenfalls der Taschenrechner aus.
Es gibt aber noch eine weitere Lösung, die durch den Verlauf der Cosinus-Funktion verständlich ist. Aber wie kommt man darauf?
Im Einheitskreis kann ich erkennen, dass die Cosinus-Funktion im 2. und 3. Quadranten negative Werte annimmt.
Im Winkelmaß würde ich
cos (180° - [mm] \alpha) [/mm] = -0,5
und
cos (180° - [mm] \alpha) [/mm] = -0,5
berechnen. Lösungen: [mm] \alpha_1 [/mm] = 120° ; [mm] \alpha_2 [/mm] = 240°.
Aber wie geht das im Bogenmaß?
Welche Formeln kann / muss ich da anwenden?
Gruß
Wolfgang
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Hallo hase--hh,
> Berechne die Lösungen für x.
>
> 2 [mm]cos^2[/mm] x + 3 cos x +1 = 0
>
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> Moin!
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> ok, also ich habe...
>
> 2 [mm]cos^2[/mm] x + 3 cos x +1 = 0
>
> 1. Substitution z = cos x
>
> 2 [mm]z^2[/mm] + 3z +1 = 0 | :2
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> [mm]z^2[/mm] + 1,5z + 0,5 =0
>
> 2. pq-Formel
>
> [mm]z_{1/2}[/mm] = - 0,75 [mm]\pm \wurzel{0,75^2 - 0,5}[/mm]
>
> [mm]z_{1}[/mm] = -1
>
> [mm]z_{2}[/mm] = -0,5
>
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> 3. Resubstitution
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>
> -1 = cos [mm]x_{1}[/mm] => [mm]x_{1}[/mm] = [mm]\pi[/mm]
>
> -0,5 = cos [mm]x_{2}[/mm] => [mm]x_{2}[/mm] = [mm]\approx[/mm] 2,094
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> Das Ergebnis spuckt jedenfalls der Taschenrechner aus.
>
> Es gibt aber noch eine weitere Lösung, die durch den
> Verlauf der Cosinus-Funktion verständlich ist. Aber wie
> kommt man darauf?
>
> Im Einheitskreis kann ich erkennen, dass die
> Cosinus-Funktion im 2. und 3. Quadranten negative Werte
> annimmt.
>
> Im Winkelmaß würde ich
>
> cos (180° - [mm]\alpha)[/mm] = -0,5
>
> und
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> cos (180° - [mm]\alpha)[/mm] = -0,5
>
> berechnen. Lösungen: [mm]\alpha_1[/mm] = 120° ; [mm]\alpha_2[/mm] = 240°.
>
> Aber wie geht das im Bogenmaß?
Zunächst gilt: [mm]\cos\left(\varphi\right)=cos\left(-\varphi\right)[/mm]
Das angewendet ergibt:
[mm]\cos\left(\varphi\right)=-0.5 \Rightarrow \varphi=\arccos\left(-0.5\right)+2k\pi[/mm]
[mm]\cos\left(-\varphi\right)=-0.5 \Rightarrow \varphi=-\arccos\left(-0.5\right)+2k\pi[/mm]
,wobei hier jeweils das k so zu wählen ist, daß sich eine Lösung im Bereich [mm]0 \le \varphi \le 2\pi[/mm] ergibt.
>
> Welche Formeln kann / muss ich da anwenden?
>
>
> Gruß
> Wolfgang
>
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:28 Sa 24.05.2008 | | Autor: | hase-hh |
Moin,
also gilt...
bezogen auf den Einheitskreis
1. [mm] \alpha \le [/mm] 90° bzw. x [mm] \le \bruch{\pi}{2}
[/mm]
[mm] sin(\alpha) [/mm] = [mm] sin(\alpha) [/mm] ---------- sin(x) = sin(x)
[mm] cos(\alpha) [/mm] = [mm] cos(\alpha) [/mm] ---------- cos(x) = cos(x)
2. 90° < [mm] \alpha \le [/mm] 180° bzw. [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] < x [mm] \le \pi
[/mm]
[mm] sin(180°-\alpha) [/mm] = + [mm] sin(\alpha) [/mm] ---------- [mm] sin(\pi-x) [/mm] = + sin(x)
[mm] cos(180°-\alpha) [/mm] = - [mm] cos(\alpha) [/mm] ---------- [mm] cos(\pi-x) [/mm] = - cos(x)
3. 180° < [mm] \alpha \le [/mm] 270° bzw. [mm] \pi [/mm] < x [mm] \le \bruch{3}{2}*\pi
[/mm]
[mm] sin(180°+\alpha) [/mm] = - [mm] sin(\alpha) [/mm] ---------- [mm] sin(\pi+x) [/mm] = - sin(x)
[mm] cos(180°+\alpha) [/mm] = - [mm] cos(\alpha) [/mm] ---------- [mm] cos(\pi+x) [/mm] = - cos(x)
4. 270° < [mm] \alpha \le [/mm] 360° bzw. [mm] \bruch{3}{2}*\pi [/mm] < x [mm] \le 2*\pi
[/mm]
[mm] sin(360°-\alpha) [/mm] = - [mm] sin(\alpha) [/mm] ---------- [mm] sin(2*\pi-x) [/mm] = - sin(x)
[mm] cos(360°-\alpha) [/mm] = + [mm] cos(\alpha) [/mm] ---------- [mm] cos(2*\pi-x) [/mm] = + cos(x)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:20 Sa 24.05.2008 | | Autor: | hase-hh |
Moin!
> > Aber wie geht das im Bogenmaß?
>
> Zunächst gilt:
> [mm]\cos\left(\varphi\right)=cos\left(-\varphi\right)[/mm]
>
> Das angewendet ergibt:
>
> [mm]\cos\left(\varphi\right)=-0.5 \Rightarrow \varphi=\arccos\left(-0.5\right)+2k\pi[/mm]
>
> [mm]\cos\left(-\varphi\right)=-0.5 \Rightarrow \varphi=-\arccos\left(-0.5\right)+2k\pi[/mm]
>
>wobei hier jeweils das k so zu wählen ist, daß sich eine
> Lösung im Bereich [mm]0 \le \varphi \le 2\pi[/mm] ergibt.
Ich würde so vorgehen:
[mm] cos(\varphi) [/mm] = -0,5 => x liegt im II. oder III. Quadranten.
Dafür gilt:
[mm] cos(\pi-x) [/mm] = - cos(x) bzw. [mm] cos(\pi+x) [/mm] = - cos(x)
Der Taschenrechner liefert:
[mm] \varphi= [/mm] 2,094 das ist kleiner als [mm] \pi [/mm] , also rechne ich
[mm] \varphi [/mm] = [mm] \pi [/mm] -x => x = 1,047
[mm] \pi [/mm] +x => x = 4,189
Irgendwas habe ich noch nicht verstanden.
Wenn ich
> [mm]\cos\left(\varphi\right)=-0.5 \Rightarrow \varphi=\arccos\left(-0.5\right)+2k\pi[/mm]
bilde
[mm] \varphi [/mm] = 2,094 + [mm] 2k\pi
[/mm]
und für k = 0 ist [mm] \varphi [/mm] = 2,094
> [mm]\cos\left(-\varphi\right)=-0.5 \Rightarrow \varphi=-\arccos\left(-0.5\right)+2k\pi[/mm]
bilde
[mm] \varphi [/mm] = -2,094 + [mm] 2k\pi [/mm]
und für k=0 ist [mm] \varphi [/mm] = -2,094
und für k=1 ist [mm] \varphi [/mm] = 4,189.
Das scheint zu stimmen.
Ferner. Für die Sinusfunktion müsste ich bilden:
[mm] sin(-\varphi) [/mm] = - [mm] sin(\varphi). [/mm] Richtig?
Danke & Gruß
Wolfgang
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Hallo hase-hh,
> Moin!
>
> > > Aber wie geht das im Bogenmaß?
> >
> > Zunächst gilt:
> > [mm]\cos\left(\varphi\right)=cos\left(-\varphi\right)[/mm]
> >
> > Das angewendet ergibt:
> >
> > [mm]\cos\left(\varphi\right)=-0.5 \Rightarrow \varphi=\arccos\left(-0.5\right)+2k\pi[/mm]
>
> >
> > [mm]\cos\left(-\varphi\right)=-0.5 \Rightarrow \varphi=-\arccos\left(-0.5\right)+2k\pi[/mm]
>
> >
> >wobei hier jeweils das k so zu wählen ist, daß sich eine
> > Lösung im Bereich [mm]0 \le \varphi \le 2\pi[/mm] ergibt.
>
> Ich würde so vorgehen:
>
> [mm]cos(\varphi)[/mm] = -0,5 => x liegt im II. oder III.
> Quadranten.
>
> Dafür gilt:
>
> [mm]cos(\pi-x)[/mm] = - cos(x) bzw. [mm]cos(\pi+x)[/mm] = - cos(x)
>
> Der Taschenrechner liefert:
>
> [mm]\varphi=[/mm] 2,094 das ist kleiner als [mm]\pi[/mm] , also rechne
> ich
>
> [mm]\varphi[/mm] = [mm]\p[/mm] -x => x = 1,047
>
> [mm]\pi[/mm] +x => x = 4,189
>
Hier siehst Du, daß die Addition beider Ergebnisse, genau [mm]2\pi [/mm] ergibt.
>
> Irgendwas habe ich noch nicht verstanden.
>
> Wenn ich
>
> > [mm]\cos\left(\varphi\right)=-0.5 \Rightarrow \varphi=\arccos\left(-0.5\right)+2k\pi[/mm]
>
> bilde
>
> [mm]\varphi[/mm] = 2,094 + [mm]2k\pi[/mm]
>
> und für k = 0 ist [mm]\varphi[/mm] = 2,094
>
> > [mm]\cos\left(-\varphi\right)=-0.5 \Rightarrow \varphi=-\arccos\left(-0.5\right)+2k\pi[/mm]
Hier liefert die Addition beider Ergebnisse:
[mm]\varphi_{1}+\varphi_{2}=2l\pi[/mm]
[mm]\Rightarrow \varphi_{2}=2l\pi-\varphi_{1}[/mm]
>
>
> bilde
>
> [mm]\varphi[/mm] = -2,094 + [mm]2k\pi[/mm]
>
>
> und für k=0 ist [mm]\varphi[/mm] = -2,094
>
> und für k=1 ist [mm]\varphi[/mm] = 4,189.
>
>
> Das scheint zu stimmen.
>
>
> Ferner. Für die Sinusfunktion müsste ich bilden:
>
> [mm]sin(-\varphi)[/mm] = - [mm]sin(\varphi).[/mm] Richtig?
>
Für die Sinusfunktion ist das etwas anders.
Für den Fall, daß [mm]\varphi \in \left[0,\pi\right][/mm]. also [mm]\sin\left(\varphi\right) \ge 0[/mm], gilt:
Die Sinusfunktion ist hier symmetrisch zu [mm]\tilde{\varphi}=\bruch{\pi}{2}[/mm]
So daß sich dann die Winkel wie folgt ergeben:
[mm]\varphi_{1}=\bruch{\pi}{2}-\varphi[/mm]
[mm]\varphi_{2}=\bruch{\pi}{2}+\varphi[/mm]
Addition liefert:
[mm]\varphi_{1}+\varphi_{2}=\pi[/mm]
Daraus ergibt sich dann jeweils der andere Winkel:
[mm]\varphi_{2}=\pi-\varphi_{1}[/mm]
Analoges gilt für den Fall, daß [mm]\varphi \in \left[\pi,2\pi\right][/mm], also [mm]\sin\left(\varphi\right) \le 0[/mm]:
[mm]\varphi_{1}=\bruch{3\pi}{2}-\varphi[/mm]
[mm]\varphi_{2}=\bruch{3\pi}{2}+\varphi[/mm]
[mm]\Rightarrow \varphi_{1}+\varphi_{2}=3*\pi[/mm]
Daraus ergibt sich dann jeweils der andere Winkel:
[mm]\varphi_{2}=3\pi-\varphi_{1}[/mm]
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> Danke & Gruß
> Wolfgang
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>
Gruß
MathePower
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