Cos-Additionstheo. +Cauchy-Pr. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 01:12 Mi 08.12.2004 | | Autor: | e1337on |
Zu zeigen (mittels Cauchy-Produkten der Reihendarstellung von Sinus und Cosinus)
[mm] \cos(z+w)=\cos(z)\cos(w)-\sin(z)\sin(w)\quad z,w\in\IC
[/mm]
Linke Seite:
[mm] \cos(z+w)=\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\frac{(z+w)^{2k}}{(2k)!}=\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\frac{1}{(2k)!}~\sum_{n=0}^{2k}\begin{pmatrix}2k \\ n\end{pmatrix} z^{2k-n}w^n=\sum_{k=0}^\infty(\sum_{n=0}^{2k}(-1)^k\frac{z^{2k-n}w^n}{n!(2k-n)!}
[/mm]
Rechte Seite:
[mm] \cos(z)\cos(w)-\sin(z)\sin(w)=\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\frac{z^{2k}}{(2k)!}~\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\frac{w^{2k}}{(2k)!}~-~\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\frac{z^{2k+1}}{(2k+1)!}~\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\frac{w^{2k+1}}{(2k+1)!}=
[/mm]
[mm] =\sum_{n=0}^\infty(\sum_{k=0}^n(-1)^n\frac{z^{2k}w^{2(n-k)}}{(2k)!(2(n-k))!})~-~\sum_{n=0}^\infty(\sum_{k=0}^n(-1)^n\frac{z^{2k+1}w^{2(n-k)+1}}{(2k+1)!(2(n-k)+1)!})=
[/mm]
[mm] =\sum_{n=0}^\infty(\sum_{k=0}^n(-1)^n\frac{(2k+1)z^{2k}(2(n-k)+1))w^{2(n-k)}}{(2k+1)!(2(n-k)+1)!})~-~\sum_{n=0}^\infty(\sum_{k=0}^n(-1)^n\frac{z^{2k+1}w^{2(n-k)+1}}{(2k+1)!(2(n-k)+1)!}=
[/mm]
[mm] =\sum_{n=0}^\infty(\sum_{k=0}^n(-1)^n\frac{(2k+1)z^{2k}(2(n-k)+1))w^{2(n-k)}~-~z^{2k+1}w^{2(n-k)+1}}{(2k+1)!(2(n-k)+1)!})
[/mm]
geht das? wie komme ich weiter? stimmt der Ansatz überhaupt, oder habe ich mich schon verrechnet?
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=10248
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:08 Fr 17.12.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Im "Matheboard" wurde dir ja bereits ein Literaturhinweis gegeben. Daher stelle ich den Status jetzt so ein (zumal die Fälligkeit längst abgelaufen ist), dass sich nur noch Interessierte mit der Frage beschäftigen, die selber üben wollen ("Lernen durch eigenes Erklären") und sich die Hilfsbereiten auf die noch aktuellen Fragen konzentrieren können.
Viele Grüße
Stefan
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