Collatz Folgen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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In einer Exceltabelle habe ich versucht die Struktur der Collatzreihen genauer zu analysieren. Hierbei bin ich auf diverse Muster und Zusammenhänge gestoßen.
Geometrisch gesehen kann man sich die Collatzreihen als einen idealen Baum vorstellen.
Definition Idealer Baum:
1. Jeder Ast bzw. Stamm besteht aus dem Vielfachen einer jeden ungeraden natürlichen Zahl bis ins Unendliche und startet mit der ungeraden Zahl mal 3 + 1.
2. Alle Zahlen lassen sich in diesem Baum wieder finden.
3. Der gesamte Baum kann in 7 verschiedene Typen von Ästen eingeteilt werden.
4. 6 dieser Typen sind verzweigt und einer ist unverzweigt.
5. Die Äste die verzweigt sind haben bei jeder 2ten Zahl eine Verzweigung.
6. Der Unterschied der 6 Typen besteht darin, wann die erste Zahl des Astes verzweigt und wann der erste unverzweigte Ast mündet.
7. Jeder dritte Ast ist unverzweigt.
8. Alle natürlichen Zahlen lassen sich in dieser Liste aufreihen
Die Verzweigung wiederrum haben selber auch ein Muster:
Jeder zweite Ast verzweigt in einem Ast mit einer höheren ungeraden Zahl
Beispiel:
Die Folge 11-22-44-88... verzweigt in 17-34-68...
Die Folge 15-30-60-120... verzweigt in 23-46-92...
Die Weite des Sprungs hängt vom Index ab
Beispiel:
Die Folge 11-22-44-88 ist die 6. ungerade Zahl. Sie verzweigt in dem Ast 17-34-68... mit der 9. ungeraden Zahl
Die Folge 15-30-60-120... ist die 8. ungerade Zahl. Sie verzweigt in dem Ast 23-46-92... mit der 12. ungeraden Zahl.
Also der Sprung ist immer der eigene Rang + die Hälfte des eigenen Rangs nach oben.
Der Rest der Äste verzweigt immer in einen Ast mit einer niedrigeren ungeraden Zahl
Beispiel:
Die Folge 13-26-52-104... verzweigt in 5-10-20-40...
Die Folge 17-34-68... verzweigt in 13-26-52-104...
Je länger man sich dieses System anschaut desto mehr Zusammenhänge ergeben sich... Wirklich faszinierend... Die Art der Verzweigend ist genau strukturiert... Das zu erklären führt zu weit... Wer Interesse hat kann die Exceltabelle von mir haben.
Ist das denn jetzt der mathematische (geometrische) Beweis für das Collatzproblem? (Ironie off)
Gruß und vielen Dank im Vorraus...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> In einer Exceltabelle habe ich versucht die Struktur der
> Collatzreihen genauer zu analysieren. Hierbei bin ich auf
> diverse Muster und Zusammenhänge gestoßen.
> Geometrisch gesehen kann man sich die Collatzreihen als
> einen idealen Baum vorstellen.
>
> Definition Idealer Baum:
>
> 1. Jeder Ast bzw. Stamm besteht aus dem Vielfachen einer
> jeden ungeraden natürlichen Zahl bis ins Unendliche und
> startet mit der ungeraden Zahl mal 3 + 1.
> 2. Alle Zahlen lassen sich in diesem Baum wieder finden.
> 3. Der gesamte Baum kann in 7 verschiedene Typen von
> Ästen eingeteilt werden.
> 4. 6 dieser Typen sind verzweigt und einer ist
> unverzweigt.
> 5. Die Äste die verzweigt sind haben bei jeder 2ten Zahl
> eine Verzweigung.
> 6. Der Unterschied der 6 Typen besteht darin, wann die
> erste Zahl des Astes verzweigt und wann der erste
> unverzweigte Ast mündet.
> 7. Jeder dritte Ast ist unverzweigt.
> 8. Alle natürlichen Zahlen lassen sich in dieser Liste
> aufreihen
>
> Die Verzweigung wiederrum haben selber auch ein Muster:
>
> Jeder zweite Ast verzweigt in einem Ast mit einer höheren
> ungeraden Zahl
>
> Beispiel:
>
> Die Folge 11-22-44-88... verzweigt in 17-34-68...
> Die Folge 15-30-60-120... verzweigt in 23-46-92...
>
> Die Weite des Sprungs hängt vom Index ab
>
> Beispiel:
>
> Die Folge 11-22-44-88 ist die 6. ungerade Zahl. Sie
> verzweigt in dem Ast 17-34-68... mit der 9. ungeraden Zahl
>
> Die Folge 15-30-60-120... ist die 8. ungerade Zahl. Sie
> verzweigt in dem Ast 23-46-92... mit der 12. ungeraden
> Zahl.
>
> Also der Sprung ist immer der eigene Rang + die Hälfte
> des eigenen Rangs nach oben.
>
> Der Rest der Äste verzweigt immer in einen Ast mit einer
> niedrigeren ungeraden Zahl
>
> Beispiel:
>
> Die Folge 13-26-52-104... verzweigt in 5-10-20-40...
> Die Folge 17-34-68... verzweigt in 13-26-52-104...
>
> Je länger man sich dieses System anschaut desto mehr
> Zusammenhänge ergeben sich... Wirklich faszinierend... Die
> Art der Verzweigend ist genau strukturiert... Das zu
> erklären führt zu weit... Wer Interesse hat kann die
> Exceltabelle von mir haben.
>
> Ist das denn jetzt der mathematische (geometrische) Beweis
> für das Collatzproblem? (Ironie off)
>
> Gruß und vielen Dank im Vorraus...
Hallo sonic5000,
mit dem Collatz-Baum habe ich mich auch schon beschäftigt
und war entzückt über dessen schöne Eigenschaften.
Wenn die Betrachtung dieses Baumes bzw. eines kleinen
Anfangsstücks davon als Beweis der Collatz-Vermutung
genügen würde, dann wäre dieser Beweis bestimmt
schon lange geführt und veröffentlicht worden.
Das Problem liegt einfach bei deinem Punkt 8 :
8. "Alle natürlichen Zahlen lassen sich in dieser Liste aufreihen"
Nachdem man sich mit dem besagten Anfangsstück
des Baumes eine Zeitlang beschäftigt hat, mag zwar
diese Eigenschaft scheinbar offensichtlich zu sein, und
bisher hat für jede wirklich ausprobierte Zahl [mm] n_0
[/mm]
die entsprechende Collatzfolge [mm]
früher oder später den Zyklus 1-4-2 erreicht.
Bisher scheint aber (meines Wissens, im September 2013)
noch keinem ein hieb- und stichfester Beweis dafür
gelungen zu sein, dass dies tatsächlich für jede
noch so große Zahl [mm] n_0 [/mm] der Fall sein muss.
Es könnte ja, vom logischen Standpunkt aus, immer
noch so sein, dass der Collatz-Baum zwar alle genügend
kleinen natürlichen Zahlen, aber trotzdem nicht alle
enthalten würde. In diesem Fall gäbe es außer den
"Collatz-Zahlen" des bekannten Baums noch andere,
"Nicht-Collatz-Zahlen", die zwar zur Menge [mm] \IN, [/mm] aber
nicht zum (Standard-) Collatz-Baum gehören.
Es laufen zwar Projekte, in welchem mit ungeheurem
Rechenaufwand versucht wird, "Nicht-Collatz-Zahlen"
zu finden. Ich stelle mir aber vor, dass es sehr
schwierig sein dürfte, von einer bestimmten Zahl
wirklich zu zeigen, dass sie nicht-collatzsch ist.
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:15 Do 19.09.2013 | | Autor: | sonic5000 |
Hallo Al,
das Thema ist wirklich interessant... Ja, dass mit dem Beweis ist nicht so einfach  ... Vielleicht klappt es ja irgendwann...
Gruß
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Hallo,
meiner Meinung nach dürften sich alle natürlichen Zahlen laut dieser Tabelle abzählen lassen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wie zu erkennen habe ich zwei Kurven eingezeichnet. Einmal den Collatzweg der ziemlich daherwirbelt und einmal die Zahlen einfach nacheinander verbunden. Bei der "Collatzzwiebel" sieht man das es etwas geordneter zugeht... Hier nochmal in groß:
[Dateianhang nicht öffentlich]
In dem Sinne dürften sich alle Zahlen in dem Collatzbaum wiederfinden. Kann das stimmen?
Gruß und vielen Dank im Vorraus...
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Guten Tag !
vermutlich durchschaue ich deine Ideen noch nicht so
ganz. Müsste mir alles wohl zuerst noch etwas genauer
anschauen.
Zunächst aber eine ganz konkrete Frage zur Tabelle:
In der Zeile Nr. 8 lese ich die Folge
15,30,60,120,240,480,65,130,260 ...
Da hat sich im Feld mit der 65 wohl ein Fehler
eingeschlichen, oder doch nicht ?
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:19 Fr 20.09.2013 | | Autor: | sonic5000 |
Hallo Al,
Oh je da hat sich tatsächlich ein Fehler eingeschlichen...Ist aber für die Idee in diesemFall egal...
Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:06 Fr 20.09.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
'Die Mathematik ist für solche Probleme noch nicht bereit'
![[]](/images/popup.gif) Paul Erdös, 1985
Gruß, Diophant
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> Hallo,
>
> 'Die Mathematik ist für solche Probleme noch nicht
> bereit'
>
> Paul Erdös,
> 1985
>
>
> Gruß, Diophant
Naja, das Zitat habe ich auch schon angetroffen.
Ich glaube aber trotzdem nicht, dass solche Aussagen
der künftigen Entwicklung der Mathematik einen guten
Dienst leisten. Sie könnten junge Leute, darunter auch
solche mit gutem geistigen Potential, davon abschrecken,
sich mit gewissen Fragen überhaupt zu beschäftigen, nur
weil viele (und auch bekannte) Mathematiker daran schon
gescheitert sind.
In seiner Aussage tut Erdös auch so, als ob er den
Überblick besitze, was "die Mathematik" (von 1985)
überhaupt sei und könne.
Ich behaupte dagegen, dass seit mindestens 100
Jahren überhaupt kein einzelner Mensch mehr in der
Lage ist, "die gesamte Mathematik" oder gar "die
gesamten Wissenschaften" vollständig zu überblicken.
LG , Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:57 Sa 21.09.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo Al,
mit vielem, was du oben geschrieben hast, hast du Recht. Jedoch: ich habe es schon öfters erlebt (nicht nur in der Mathematik), das zu hoch gesteckte Ziele letztendlich nur zu Frustration oder gar völligem Scheitern führten. Von daher wollte ich einfach darauf aufmerksam machen, dass man sich mit so was wie der Collatz-Vermutung auch einfach interessehalber beschäftigen kann, ohne den Anspruch, eine Lösung zu finden.
Gruß, Diophant
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Hallo,
> Hallo,
>
> meiner Meinung nach dürften sich alle natürlichen Zahlen
> laut dieser Tabelle abzählen lassen:
Eine Schwalbe macht noch keinen Sommer und eine Meinung noch keinen Beweis. 
> Wie zu erkennen habe ich zwei Kurven eingezeichnet. Einmal
> den Collatzweg der ziemlich daherwirbelt und einmal die
> Zahlen einfach nacheinander verbunden. Bei der
> "Collatzzwiebel" sieht man das es etwas geordneter
> zugeht... Hier nochmal in groß:
> In dem Sinne dürften sich alle Zahlen in dem Collatzbaum
> wiederfinden. Kann das stimmen?
Ich verstehe dein Anliegen nicht. Im Sinne eines Beweises muss man ganz klar sagen: es reicht nicht aus, irgendeiner Meinung zu sein oder etwas im Konjunktiv zu formulieren, dass es 'so sein dürfte'.
So weit ich das weiß, gehen die Experten bei der Collatz-Vermutung davon aus, dass sie -sofern es eines Tages gelingen wird, sie zu prüfen - bestätigt werden wird.
Letztendlich geht es ja um die immer gleiche Frage: landet man von jeder Startzahl aus irgendwann bei einer Zweierpotenz? Und das hast du (wenn ich es richtig verstanden habe) wie viele andere auch schon vor dir versucht, rückwärts zu klären. Der Versuch ehrt dich (ich selbst habe auch mal meine ganzenm Sommerferien an dieses Problem drangegeben). Aber mache dir bitte klar: du untersuchst hier ein seit ca. 60 Jahren ungelöstes Problem der Zahlentheorie, an dem sich schon die brillantesten Mathematiker des 20. Jahrhunderts vergeblich die Zähne ausgebissen haben.
Daher würde ich dir raten, deine Ansprüche bei der Untersuchung des Problems herunterzufahren, alles andere ist zum Scheitern verurteilt.
Einen Beweis hast du jedenfalls nicht geliefert, noch nicht einmal in Ansätzen.
Siehe dazu auch das von mir gepostete Zitat von Paul Erdös.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:42 Fr 20.09.2013 | | Autor: | sonic5000 |
Hallo,
O.K. aber die Struktur ist schon interessant... Außerdem was hat Feynman mal gesagt: Naturwissenschaft ist der Glaube an die Unwissenheit der Experten.
Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:12 Mo 30.09.2013 | | Autor: | wieschoo |
Ich finde es toll, das sich immer wieder jemand versucht. Vor zwei Jahren hatte ich mich damals intensiver mit der Folge beschäftigt.
Es gibt von Jeffrey Lagarias ein tolles Buch darüber: "The 3x + 1 Problem". Das steht so ziemlich alles drin, was man bisher versucht hat. Man sieht dort schön, welches Waffenarsenal schon auf das Problem losgelassen wurde.
Eine Vorschau befindet sich hier:
http://www.ams.org/bookstore/pspdf/mbk-78-prev.pdf
Es gibt dazu übrigens auch zwei äquivalente Fragestellung mittels stopping times (nicht i.S.v. stochast. Stoppzeiten).
Ich selber habe mal mich mit dem Abstand zwischen zwei Zahlen (definiert als Pfadlänge von einer Zahl zu einer anderen im Collatzbaum) beschäftigt. Dieser sollte ja endlich sein, falls die Vermutung stimmt.
Dabei kam folgendes heraus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Man sieht schön die Streifen, die immer kurze Abstände erlauben. Vielleicht sieht ja jemand etwas
Vielleicht sollte man nicht alle Abstände betrachten, sondern immer nur den Abstand zu spezifischen Punkten.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 05:17 Di 01.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo zusammen!
> Es gibt von Jeffrey Lagarias ein tolles Buch darüber: "The
> 3x + 1 Problem". Das steht so ziemlich alles drin, was man
> bisher versucht hat. Man sieht dort schön, welches
> Waffenarsenal schon auf das Problem losgelassen wurde.
>
> Eine Vorschau befindet sich hier:
> http://www.ams.org/bookstore/pspdf/mbk-78-prev.pdf
Mich wundert etwas, dass in diesem "Waffenarsenal" die Mengenlehre kaum vertreten zu sein scheint.
Wir müssen unterscheiden zwischen den gewöhnlichen natürlichen Zahlen (um die es wohl im Collatz-Problem gehen soll) auf der einen Seite und der kleinsten Limes-Ordinalzahl [mm] $\omega$, [/mm] die innerhalb jedes Mengen-Universums zwar die Peano-Axiome erfüllt, jedoch Nichtstandard-Zahlen enthalten kann.
Wenn wir nur ZFC als Grundlage unserer Forschung über das Collatz-Problem nehmen (und das tun die meisten Mathematiker wohl implizit, solange sie keine neuen Methoden zur Erforschung der gewöhnlichen natürlichen Zahlen entdecken), erforschen wir in Wahrheit die "Übertragung der Collatz-Vermutung auf [mm] $\omega$".
[/mm]
Nehmen wir mal an ZFC ist konsistent. Dann gilt genau eine der folgenden drei Aussagen:
1. ZFC beweist Gültigkeit der Collatz-Vermutung für [mm] $\omega$.
[/mm]
2. ZFC beweist die Falschheit der Collatz-Vermutung für [mm] $\omega$.
[/mm]
3. Die Collatz-Vermutung für [mm] $\omega$ [/mm] ist unabhängig von ZFC.
Wenn 3. vorliegen sollte, ist eine Lösung des Collatz-Problems ausschließlich mittels ZFC ausgeschlossen. Wir benötigten dann notwendigerweise neue Methoden zur Erforschung der gewöhnlichen natürlichen Zahlen (z.B. zusätzliche Axiome), wenn wir eine Chance auf die Lösung des Collatz-Problems haben wollten. Wenn wir also 3. zeigen könnten, wäre das aus meiner Sicht ein großer Fortschritt, da wir wüssten, in welche Richtung wir weiter zu suchen hätten.
Wenn man zumindest einen der Fälle 1. oder 2. ausschließen könnte, wäre auch schon viel gewonnen: Dann wäre eine im Falle 1. eine positive bzw. im Falle 2. eine negative Lösung des Collatz-Problems rein mit ZFC-Mittlen ausgeschlossen.
Wenn 1. oder 2. vorliegen würde, gäbe es aus meiner Sicht zwei Interpretationsmöglichkeiten:
a) Unter der Annahme, dass man an die "Existenz" (was auch immer man darunter genau verstehen will...) eines Mengen-Universums "glaubt", in dem es keine Nichtstandard-Zahlen gibt: Dann würde die Collatz-Vermutung insbesondere für die Menge [mm] $\omega$ [/mm] dieses Universums gelten (im Falle 1.) bzw. nicht gelten (im Falle 2.). Damit wäre die Collatz-Vermutung als bewiesen bzw. widerlegt anzusehen.
b) Unter der Annahme, dass man die "Existenz" eines Mengen-Universums ohne Nichtstandard-Zahlen in Zweifel zieht: Dann wäre ein Beweis oder Widerlegen der Collatz-Vermutung (für die gewöhnlichen natürlichen Zahlen) durch einen Beweis rein innerhalb von ZFC genau wie im Falle 3. ausgeschlossen. Vielleicht wäre es jedoch möglich, die Argumentation des ZFC-Beweises in einen "plausiblen Beweis" für die gewöhnlichen natürlichen Zahlen oder gar in einen Beweis innerhalb der Peano-Arithmetik zu übertragen. (Ich bin leider im Moment nicht ganz fit beim Thema "Gödelisierung": Ich gehe aber davon aus, dass sich die Collatz-Vermutung als Formel innerhalb der Peano-Arithmetik formalisieren lässt?)
Der Versuch, 1. oder 2. als vorliegend zu identifizieren, entspricht offensichtlich weitestgehend dem, was in der Forschung (implizit) ohnehin getan wird. Die Möglichkeit 3. wird zwar in dem von wieschoo zitierten Buch auch in Betracht gezogen, jedoch anscheinend kein Nachweis mit Mitteln der Mengenlehre. Auch der mögliche Ausschluss von 1. oder 2. mit Mitteln der Mengenlehre wird anscheinend nicht in Betracht gezogen.
Sei [mm] $a_{m,n}$ [/mm] das $n$-te Glied der Zahlenfolge aus der Collatz-Vermutung mit Startwert $m$. Die Forschung könnte z.B. versuchen, Aussagen über [mm] $a_{m,n}$ [/mm] für Nichtstandard-Zahlen $n$ und $m$ in einem Universum der Mengenlehre herzuleiten.
Um z.B. 1. auszuschließen würde es ja reichen, eine Nichtstandard-Zahl mit [mm] $m\in\omega$ [/mm] innerhalb dieses Universums zu finden, für die [mm] $a_{m,n}\not=4$ [/mm] für alle [mm] $n\in\omega$ [/mm] gilt. Dazu würde es z.B. genügen einzusehen, dass für alle [mm] $n\in\omega$ [/mm] die Zahl [mm] $a_{m,n}$ [/mm] eine Nichtstandard-Zahl ist (für Standardzahlen $n$ ist das relativ einfach einzusehen, das Problem sind Nichtstandard-Zahlen [mm] $n\in\omega$).
[/mm]
Um 2. auszuschließen würde es ja genügen, in diesem Universum für jedes [mm] $m\in\omega$ [/mm] eine Zahl [mm] $n\in\omega$ [/mm] mit [mm] $a_{m,n}=4$ [/mm] zu finden. Ein solches $n$ könnte ja eine Nichtstandard-Zahl sein.
Also könnte es hilfreich sein, das Verhalten der Folgen der [mm] $a_{m,n}$ [/mm] auch für Nichtstandard-Zahlen $n$ und $m$ zu untersuchen.
Viele Grüße
Tobias
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> Hallo zusammen!
>
>
> > Es gibt von Jeffrey Lagarias ein tolles Buch darüber: "The
> > 3x + 1 Problem". Das steht so ziemlich alles drin, was man
> > bisher versucht hat. Man sieht dort schön, welches
> > Waffenarsenal schon auf das Problem losgelassen wurde.
> >
> > Eine Vorschau befindet sich hier:
> > http://www.ams.org/bookstore/pspdf/mbk-78-prev.pdf
> Mich wundert etwas, dass in diesem "Waffenarsenal" die
> Mengenlehre kaum vertreten zu sein scheint.
>
>
> Wir müssen unterscheiden zwischen den gewöhnlichen
> natürlichen Zahlen (um die es wohl im Collatz-Problem
> gehen soll) auf der einen Seite und der kleinsten
> Limes-Ordinalzahl [mm]\omega[/mm], die innerhalb jedes
> Mengen-Universums zwar die Peano-Axiome erfüllt, jedoch
> Nichtstandard-Zahlen enthalten kann.
>
> Wenn wir nur ZFC als Grundlage unserer Forschung über das
> Collatz-Problem nehmen (und das tun die meisten
> Mathematiker wohl implizit, solange sie keine neuen
> Methoden zur Erforschung der gewöhnlichen natürlichen
> Zahlen entdecken), erforschen wir in Wahrheit die
> "Übertragung der Collatz-Vermutung auf [mm]\omega[/mm]".
>
>
> Nehmen wir mal an ZFC ist konsistent. Dann gilt genau eine
> der folgenden drei Aussagen:
> 1. ZFC beweist Gültigkeit der Collatz-Vermutung für
> [mm]\omega[/mm].
> 2. ZFC beweist die Falschheit der Collatz-Vermutung für
> [mm]\omega[/mm].
> 3. Die Collatz-Vermutung für [mm]\omega[/mm] ist unabhängig von
> ZFC.
>
> Wenn 3. vorliegen sollte, ist eine Lösung des
> Collatz-Problems ausschließlich mittels ZFC
> ausgeschlossen. Wir benötigten dann notwendigerweise neue
> Methoden zur Erforschung der gewöhnlichen natürlichen
> Zahlen (z.B. zusätzliche Axiome), wenn wir eine Chance auf
> die Lösung des Collatz-Problems haben wollten. Wenn wir
> also 3. zeigen könnten, wäre das aus meiner Sicht ein
> großer Fortschritt, da wir wüssten, in welche Richtung
> wir weiter zu suchen hätten.
>
> Wenn man zumindest einen der Fälle 1. oder 2.
> ausschließen könnte, wäre auch schon viel gewonnen: Dann
> wäre eine im Falle 1. eine positive bzw. im Falle 2. eine
> negative Lösung des Collatz-Problems rein mit ZFC-Mittlen
> ausgeschlossen.
>
> Wenn 1. oder 2. vorliegen würde, gäbe es aus meiner Sicht
> zwei Interpretationsmöglichkeiten:
> a) Unter der Annahme, dass man an die "Existenz" (was auch
> immer man darunter genau verstehen will...) eines
> Mengen-Universums "glaubt", in dem es keine
> Nichtstandard-Zahlen gibt: Dann würde die
> Collatz-Vermutung insbesondere für die Menge [mm]\omega[/mm] dieses
> Universums gelten (im Falle 1.) bzw. nicht gelten (im Falle
> 2.). Damit wäre die Collatz-Vermutung als bewiesen bzw.
> widerlegt anzusehen.
> b) Unter der Annahme, dass man die "Existenz" eines
> Mengen-Universums ohne Nichtstandard-Zahlen in Zweifel
> zieht: Dann wäre ein Beweis oder Widerlegen der
> Collatz-Vermutung (für die gewöhnlichen natürlichen
> Zahlen) durch einen Beweis rein innerhalb von ZFC genau wie
> im Falle 3. ausgeschlossen. Vielleicht wäre es jedoch
> möglich, die Argumentation des ZFC-Beweises in einen
> "plausiblen Beweis" für die gewöhnlichen natürlichen
> Zahlen oder gar in einen Beweis innerhalb der
> Peano-Arithmetik zu übertragen. (Ich bin leider im Moment
> nicht ganz fit beim Thema "Gödelisierung": Ich gehe aber
> davon aus, dass sich die Collatz-Vermutung als Formel
> innerhalb der Peano-Arithmetik formalisieren lässt?)
>
>
> Der Versuch, 1. oder 2. als vorliegend zu identifizieren,
> entspricht offensichtlich weitestgehend dem, was in der
> Forschung (implizit) ohnehin getan wird. Die Möglichkeit
> 3. wird zwar in dem von wieschoo zitierten Buch auch in
> Betracht gezogen, jedoch anscheinend kein Nachweis mit
> Mitteln der Mengenlehre. Auch der mögliche Ausschluss von
> 1. oder 2. mit Mitteln der Mengenlehre wird anscheinend
> nicht in Betracht gezogen.
>
>
> Sei [mm]a_{m,n}[/mm] das [mm]n[/mm]-te Glied der Zahlenfolge aus der
> Collatz-Vermutung mit Startwert [mm]m[/mm]. Die Forschung könnte
> z.B. versuchen, Aussagen über [mm]a_{m,n}[/mm] für
> Nichtstandard-Zahlen [mm]n[/mm] und [mm]m[/mm] in einem Universum der
> Mengenlehre herzuleiten.
>
> Um z.B. 1. auszuschließen würde es ja reichen, eine
> Nichtstandard-Zahl mit [mm]m\in\omega[/mm] innerhalb dieses
> Universums zu finden, für die [mm]a_{m,n}\not=4[/mm] für alle
> [mm]n\in\omega[/mm] gilt. Dazu würde es z.B. genügen einzusehen,
> dass für alle [mm]n\in\omega[/mm] die Zahl [mm]a_{m,n}[/mm] eine
> Nichtstandard-Zahl ist (für Standardzahlen [mm]n[/mm] ist das
> relativ einfach einzusehen, das Problem sind
> Nichtstandard-Zahlen [mm]n\in\omega[/mm]).
>
> Um 2. auszuschließen würde es ja genügen, in diesem
> Universum für jedes [mm]m\in\omega[/mm] eine Zahl [mm]n\in\omega[/mm] mit
> [mm]a_{m,n}=4[/mm] zu finden. Ein solches [mm]n[/mm] könnte ja eine
> Nichtstandard-Zahl sein.
>
> Also könnte es hilfreich sein, das Verhalten der Folgen
> der [mm]a_{m,n}[/mm] auch für Nichtstandard-Zahlen [mm]n[/mm] und [mm]m[/mm] zu
> untersuchen.
>
>
> Viele Grüße
> Tobias
Hallo Tobias,
ich habe nur eine einfache Bemerkung zu machen:
Falls es tatsächlich bis heute noch nicht möglich sein sollte,
die "einfachen natürlichen Zahlen" (bei welchen es zu jeder
natürlichen Zahl n genau eine möglicherweise lange, aber stets
endliche Vorgängerkette gibt, welche bei der einzigen
Null anfängt und alle natürlichen Zahlen von 0 bis n genau
einmal durchläuft) mengentheoretisch klar zu charakterisieren,
dann würde ich dies als einen schweren Mangel der Mengentheorie
betrachten. Es wäre ihr dann quasi nicht gelungen, das
"einfachste" Konzept von "Unendlichkeit" richtig zu
erfassen.
War denn Peano wirklich voll daneben ?
LG , Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:16 Di 01.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Al,
danke für deinen Beitrag!
> Falls es tatsächlich bis heute noch nicht möglich sein
> sollte,
> die "einfachen natürlichen Zahlen" (bei welchen es zu
> jeder
> natürlichen Zahl n genau eine möglicherweise lange, aber
> stets
> endliche Vorgängerkette gibt, welche bei der einzigen
> Null anfängt und alle natürlichen Zahlen von 0 bis n
> genau
> einmal durchläuft) mengentheoretisch klar zu
> charakterisieren,
> dann würde ich dies als einen schweren Mangel der
> Mengentheorie
> betrachten. Es wäre ihr dann quasi nicht gelungen, das
> "einfachste" Konzept von "Unendlichkeit" richtig zu
> erfassen.
Genau meine Meinung! Es ist mir ein Rätsel, wieso es kaum jemanden zu stören scheint, dass es in einer ZFC-Mengenwelt eben nicht notwendig eine Menge der natürlichen Zahlen ohne Nichtstandard-Zahlen gibt.
Wir haben zwar eine gute Intuition von Begriffen wie "natürliche Zahl" und "endlich", können sie aber anscheinend nicht vernünftig formal erfassen.
> War denn Peano wirklich voll daneben ?
Das würde ich nicht sagen. Seine Axiome beschreiben zutreffende Eigenschaften der intuitiven natürlichen Zahlen. Nur reichen diese halt nicht aus, sicher die gewöhnlichen natürlichen Zahlen zu charakterisieren. Es hängt von der Mengenwelt ab, ob die innerhalb dieser Mengenwelt bis auf Isomorphie eindeutige Menge, die seinen Axiomen genügt, tatsächlich wie die Gesamtheit der gewöhnlichen natürlichen Zahlen aussieht.
Viele Grüße
Tobias
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Collatz Axiom:
Es gibt eine Beschränkung für das Verhältnis „Anzahl der Ziffern des maximalen Elements/ Anzahl der Ziffern des Startelements“. Die untere Grenze für das Verhältnis liegt bei 1 (alle Zahlen x für die gilt x = [mm] 2^n) [/mm] während die obere Grenze bei 2 (einige Zahlen x für die gilt x = [mm] 2^n [/mm] - 1) liegt.
Daraus folgt direkt:
Wenn das Verhältnis „Anzahl der Ziffern des maximalen Elements/ Anzahl der Ziffern des Startelements“ nach oben begrenzt/abzählbar ist, dann ist auch die Folge begrenzt/abzählbar. Es sei denn es gibt einen weiteren Zyklus außer 4-2-1.
Dies kann durch folgende Überlegung ausgeschlossen werden:
Hierzu gibt es zwei Fälle zu unterscheiden:
1)
Eine Zahlenfolge die direkt auf sich selbst führt wie der Zyklus 4-2-1:
Jede Zahlenfolge einer ungeraden Zahl außer der 1 zeigt nicht auf sich selbst weil es gilt:
2n < 3n+1 < 4n
2)
Eine Zahlenfolge die indirekt auf sich selbst führt:
Bei jeder 3n+1 Operation verringert sich die Anzahl der Operationen zum 4-2-1 Zyklus um genau eine (ergibt sich aus der Struktur des Collatzbaums). Wenn nun eine Folge indirekt auf sich selber führt ist dieses Gesetz verletzt. Das würde ja bedeuten, dass die Anzahl der Operationen gleichgeblieben ist.
Vielleicht kann mir einer helfen ob da noch ein Fehler ist...
Vielen Dank im Vorraus!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:28 So 06.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo sonic5000,
vorweg: Jede der Zahlenfolgen aus dem Collatz-Problem hat eine der beiden folgenden Eigenschaften:
1. Sie ist unbeschränkt.
2. Sie ist beschränkt. Dann gerät sie notwendigerweise irgendwann in einen Zyklus.
Bisher ist laut Wikipedia weder 1. ausgeschlossen noch 2. mit einem anderen Zyklus als 1-2-4.
> Collatz Axiom:
>
> Es gibt eine Beschränkung für das Verhältnis „Anzahl
> der Ziffern des maximalen Elements/ Anzahl der Ziffern des
> Startelements“. Die untere Grenze für das Verhältnis
> liegt bei 1 (alle Zahlen x für die gilt x = [mm]2^n)[/mm] während
> die obere Grenze bei 2 (einige Zahlen x für die gilt x =
> [mm]2^n[/mm] - 1) liegt.
Nun postulierst du eine Aussage, die direkt den Ausschluss von 1. impliziert, als Axiom. Warum sollte man dieses Axiom als gültig für die natürlichen Zahlen annehmen?
(Übrigens sprichst du von "dem maximalen Element". Es ist eben alles andere als klar, dass es für jeden Startwert ein maximales Element gibt.)
> Daraus folgt direkt:
>
> Wenn das Verhältnis „Anzahl der Ziffern des maximalen
> Elements/ Anzahl der Ziffern des Startelements“ nach oben
> begrenzt/abzählbar ist, dann ist auch die Folge
> begrenzt/abzählbar.
Mit "nach oben begrenzt" meinst du sicherlich "nach oben beschränkt". Was meinst du mit abzählbar? Welche Menge soll jeweils abzählbar sein?
> Es sei denn es gibt einen weiteren
> Zyklus außer 4-2-1.
>
> Dies kann durch folgende Überlegung ausgeschlossen
> werden:
>
> Hierzu gibt es zwei Fälle zu unterscheiden:
>
> 1)
> Eine Zahlenfolge die direkt auf sich selbst führt wie der
> Zyklus 4-2-1:
Mir ist nicht klar, was du mit "direkt bzw. indirekt auf sich selber führen" meinst. Heißt "direkt auf sich selber führen", dass die Folge von Anfang an in einem Zyklus der Länge 3 ist?
> Jede Zahlenfolge einer ungeraden Zahl außer der 1 zeigt
> nicht auf sich selbst weil es gilt:
> 2n < 3n+1 < 4n
Falls "auf sich selbst zeigen" heißt, dass "der dritte Collatz-Nachfolger" die Zahl selbst ist: Dann hast du damit recht: Es gibt keinen Zyklus der Länge 3 außer dem 1-2-4-Zyklus.
Du hast also einen sehr trivialen Sonderfall eines anderen Zyklus' als 1-2-4 ausgeschlossen.
> 2)
> Eine Zahlenfolge die indirekt auf sich selbst führt:
>
> Bei jeder 3n+1 Operation verringert sich die Anzahl der
> Operationen zum 4-2-1 Zyklus um genau eine (ergibt sich aus
> der Struktur des Collatzbaums).
Hier setzt du nun schon voraus, dass es für jeden Startwert eine "Anzahl der Operationen zum 4-2-1 Zyklus" gebe. Mit anderen Worten: Du setzt die Collatz-Vermutung bereits als wahr voraus.
> Wenn nun eine Folge
> indirekt auf sich selber führt ist dieses Gesetz verletzt.
> Das würde ja bedeuten, dass die Anzahl der Operationen
> gleichgeblieben ist.
> Vielleicht kann mir einer helfen ob da noch ein Fehler
> ist...
Da ist nicht nur noch ein Fehler, sondern du hast gar nichts wirklich getan außer dem Ausschluss eines Zyklus' der Länge 3.
Den Ausschluss von 1. postulierst du einfach so per neuem Axiom, dann setzt du gleich die gesamte Collatz-Vermutung für deinen "Beweis" bereits als gegeben voraus.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:05 So 06.10.2013 | | Autor: | sonic5000 |
Hallo Tobias,
danke erst mal für Deine schnelle Antwort... Ich wusste, dass da noch was fehlt ... Ehrlich gesagt war mir das Axiom selber noch ein bißchen wackelig... Ich habe es empirisch durch probieren herausbekommen. Leider kann ich es nicht herleiten... Immerhin wenn es so wäre (ich glaube schon das es so ist) hätte man wieder ein bißchen mehr Struktur Aber probier mal den Collatzrechner aus
http://www.rzbt.haw-hamburg.de/dankert/spezmath/html/collatzproblem.html
Ich glaube nicht das jemand ein Verhältnis über 2 hinbekommt.
Hier nochmal eine Reihe zur Verdeutlichung. Ich dachte erst dass [mm] 2^n [/mm] - 1 lokale Extremstellen sind aber leider gibt es noch ein paar andere (wäre auch zu einfach gewesen):
[Dateianhang nicht öffentlich]
Hier sieht man wie die max. Zahlen zu den Startzahlen mitwachsen aber das Verhältnis immer zwischen 1 und 2 bleibt.
Den Zyklus den ich als indirekt bezeichnt habe, eine Zahlenfolge die über Umwege wieder auf den gleichen "Ast" führt.
Mit abzaehlbar meinte ich eigentlich die Folge ist endlich wenn das oben erwähnte Verhältnis nicht über 2 wächst.
Du hast Recht das war etwas ungeschickt ausgedrückt. Es macht Sinn wenn man sich das rückwärts indiziert... Dann wird klar das man sich durch jede (n-1)/3 Operation ein Ast weiter entfernt ein. Andersherum also nähert...
Einen schönen Sonntag...
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:35 So 06.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Ehrlich gesagt war mir das
> Axiom selber noch ein bißchen wackelig... Ich habe es
> empirisch durch probieren herausbekommen. Leider kann ich
> es nicht herleiten...
Zwei Grundstandpunkte sind denkbar:
1. Man meint hält "sinnvolle" Vermutungen über alle natürlichen Zahlen, die für eine "große" Anzahl von natürlichen Zahlen getestet wurden, für "empirisch annehmbar".
2. Man hält solche empirischen Überlegungen für nicht hinreichend und fordert einen Beweis.
Geht man vom Standpunkt 1. aus, so ist die gesamte Collatz-Vermutung ja bereits "empirisch annehmbar". Geht man vom Standpunkt 2. aus, so hilft Empirie sowieso nicht weiter.
> Immerhin wenn es so wäre (ich glaube
> schon das es so ist)
Hast du es denn wenigstens schon an den ersten Millionen Zahlen getestet?
> hätte man wieder ein bißchen mehr
> Struktur Aber probier mal den Collatzrechner aus
>
> http://www.rzbt.haw-hamburg.de/dankert/spezmath/html/collatzproblem.html
>
> Ich glaube nicht das jemand ein Verhältnis über 2
> hinbekommt.
>
> Hier nochmal eine Reihe zur Verdeutlichung. Ich dachte erst
> dass [mm]2^n[/mm] - 1 lokale Extremstellen sind aber leider gibt es
> noch ein paar andere (wäre auch zu einfach gewesen):
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Hier sieht man wie die max. Zahlen zu den Startzahlen
> mitwachsen aber das Verhältnis immer zwischen 1 und 2
> bleibt.
Ich sehe ehrlich gesagt nur, dass es für die wenigen Beispiele, die du betrachtest, hinhaut.
> Den Zyklus den ich als indirekt bezeichnt habe, eine
> Zahlenfolge die über Umwege wieder auf den gleichen "Ast"
> führt.
Also ein Zyklus der Länge >3?
> Einen schönen Sonntag...
Danke, das wünsche ich dir auch!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:56 So 06.10.2013 | | Autor: | sonic5000 |
Hallo Tobias,
ich gebe Dir völlig Recht... Im Prinzip ist es nichts anderes als die Collatzfolge selber... Die ist ja auch nur empirisch belegt... Die extremste Zahl die ich gefunden habe war übrigens (also ein Delayrecord von jemand anderem) 1980976057694848447.
38 Ziffern max. Element / 19 Ziffern Startelement also das ca. 3,2^19 fache der Startzahl. Aber immer noch ein Verhältnis von genau 38/19 = 2
Leider kann ich nicht programmieren :-( So könnte man mal mehr Zahlen ausprobieren. Kannst Du sowas?
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:14 So 06.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Leider kann ich nicht programmieren :-( So könnte man mal
> mehr Zahlen ausprobieren. Kannst Du sowas?
Im Moment bin ich da leider völlig raus und möchte mir nicht die Zeit nehmen, mich wieder reinzufinden. Vielleicht hat ja jemand anderes Lust?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:31 Mo 07.10.2013 | | Autor: | sonic5000 |
Die Sache hat sich erledigt... So einfach war es dann doch nicht... Es gibt eine Startzahl die über das doppelte der Ziffern erwächst.
Gruß
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> Es gibt eine Startzahl die über das doppelte der
> Ziffern erwächst.
Hallo sonic5000,
wenn du schon so intensiv gesucht hast: könntest
du uns diese Startzahl vielleicht auch verraten ?
LG , Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:13 Mo 07.10.2013 | | Autor: | sonic5000 |
Hallo Al,
die Startzahl lautet 319804831. Die Max. Zahl hat 19 Ziffern... Also knapp daneben... Ich habe sie auf einer Seite mit Delayrecords gefunden.
Die Seite heißt:
http://www.ericr.nl/wondrous/#part1
Gruß
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