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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:51 So 08.06.2014 | | Autor: | ttl |
| Aufgabe | Das Polynom p sei gegeben in seiner Entwicklung nach Tschebyscheff-Polynomen,
p(x) = [mm] \frac{1}{2}c_{0} [/mm] + [mm] c_{1}T_{1}(x) [/mm] + ... + [mm] c_{n}T{n}(x).
[/mm]
[mm] d_{k} [/mm] = [mm] c_{k} [/mm] + [mm] 2xd_{k+1} [/mm] - [mm] d_{k+2}, [/mm] mit k = n, n-1, ... , 0 wobei [mm] d_{n+1} [/mm] = [mm] d_{n+2} [/mm] = 0
[mm] e_{k} [/mm] = [mm] d_{k} [/mm] + [mm] 2xe_{k+1} [/mm] - [mm] e_{k+2}, [/mm] mit k= n, n-1, ... , 1 wobei [mm] e_{n+1} [/mm] = [mm] e_{n+2} [/mm] = 0
Zeigen Sie, dass folgendes gilt:
p(x)' = [mm] e_{1} [/mm] - [mm] e_{3}, [/mm] wobei p(x) = [mm] \frac{1}{2} (d_{0} [/mm] - [mm] d_{2}). [/mm] |
Was ich mir gedacht habe ist, dass man dies über Induktion zeigen könnte. Dafür haben wir in der Aufgabe den Hinweis erhalten, dass wir eine Behauptung zu einem Zusammenhang zwischen [mm] d_{i}' [/mm] und [mm] e_{i+1} [/mm] aufstellen.
So weit so gut.
Also, würde es doch reichen wenn man zeigt: [mm] d_{i}' [/mm] = [mm] e_{i+1}
[/mm]
Für i = n+1: [mm] d_{n+1}' [/mm] = 0 = [mm] e_{n+2}
[/mm]
Für i = n: [mm] d_{n} [/mm] = [mm] c_n [/mm] => [mm] d_{n}' [/mm] = 0 = [mm] e_{n+1}
[/mm]
Nun zeigen für (i+2,i+1) -> i
Hier ist das Problem.
[mm] d_{i}' [/mm] = [mm] 2xd_{k+1}' [/mm] - [mm] d_{k+2}'. [/mm] Jedoch ist dies aber nicht gleich [mm] e_{i+1}, [/mm] denn im Argument von [mm] e_{k} [/mm] befindet sich noch [mm] d_{k}.
[/mm]
D.h. es müsste so etwas sein wie [mm] d_{i}' [/mm] = [mm] d_{i+1} [/mm] + [mm] 2xd_{k+1}' [/mm] - [mm] d_{k+2}' [/mm] und daraus würde die Behauptung folgen.
Nun wollte ich euch um Rat bitten und fragen wo der Fehler ist.
Es wäre sehr nett, wenn mir jemand dabei helfen könnte.
Viele Grüße
ttl
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Mo 16.06.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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