Clairaut-Konstante < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] \alpha [/mm] (t, [mm] \theta) [/mm] := (h(t), [mm] r(t)cos(\theta), r(t)sin(\theta)) [/mm] eine Parametrisierung einer Rotationsfläche S, und [mm] \gamma [/mm] : I [mm] \to [/mm] S eine Geodäte mit Clairaut-Konstante C.
Zeigen Sie: Die Kurve [mm] \hat \gamma(s) [/mm] := [mm] \gamma(-s) [/mm] ist ebenfalls eine Geodäte und hat Clairaut-Konstante -C. |
Hallo zusammmen!
Ich brauche mal ein wenig Unterstützung bei der Aufgabe. Ich weiß C := [mm] cos(\alpha(s))r(t(s)), [/mm] wobei [mm] \alpha(s) [/mm] = [mm] Winkel(\gamma'(s), [/mm] Median durch [mm] \gamma(s)) [/mm] und r(t(s)) = Abstand von [mm] \gamma(s) [/mm] zur Rotationsachse.
Da eine Umorientierung der Geodäte den Abstand nicht veändern dürfte, müsste r(t(s)) für [mm] \hat \gamma(s) [/mm] identisch sein. Für [mm] cos(\alpha(s)) [/mm] ist mir weiterhin die Formel [mm] cos(\alpha(s)) [/mm] = [mm] \bruch{\gamma'(s) \cdot \alpha_{\theta}}{||\gamma'(s)|| \cdot ||\alpha_{\theta}||} [/mm] bekannt.
Also berechne ich zuerst [mm] \alpha_{\theta} [/mm] = (0, [mm] -r(t)sin(\theta), r(t)cos(\theta)). [/mm] Daraus folgt [mm] ||\alpha_{\theta}|| [/mm] = ... = [mm] r(t)^2 [/mm] (Soweit erstmal richtig?)
Nun brauche ich ja noch [mm] \gamma'(s). [/mm] Wie berechne ich denn das (Brett-vorm-Kopf)?
Es gilt: [mm] \gamma(s) [/mm] = [mm] \alpha(t(s),\theta(s)) [/mm] = (h(t(s)), [mm] r(t(s))cos(\theta(s)), r(t(s))sin(\theta(s))). [/mm] Also [mm] \gamma'(s) [/mm] = (h'(t(s))t'(s), [mm] r'(t(s))t'(s)cos(\theta(s)) [/mm] - [mm] r(t(s))sin(\theta(s))\theta'(s), r'(t(s))t'(s)sin(\theta(s)) [/mm] + [mm] r(t(s))cos(\theta(s))\theta'(s)) [/mm] ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:24 Sa 15.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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