Cholesky Zerlegung < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:03 So 18.11.2007 | | Autor: | Yadis |
| Aufgabe | Gegeben: A = [mm] \pmat{ 1 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 5 & -4 & 0 \\ 0 & -4 & 13 & -9 \\ 0 & 0 & -9 & 25} [/mm] und b = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 16}.
[/mm]
Lösen sie das System Ax = b. |
Hallo.
Die Aufgabe oben ist mit Gauss schnell zu lösen, aber da die Matrix positiv definit und symmetrisch ist dachte ich mir, mache ich das doch mit Cholesky (passt auch grade in den Stoff).
Dabei habe ich folgende Zerlegung bekommen:
[mm] \pmat{ 1 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 5 & -4 & 0 \\ 0 & -4 & 13 & -9 \\ 0 & 0 & -9 & 25} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & 4} [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 4}
[/mm]
Bei Cholesky gilt ja Ax = b <=> [mm] C^{T}Cx [/mm] = b.
Rechne ich aber damit bekomme ich das Ergebnis x = [mm] \vektor{4 \\ 4 \\ 4 \\ 4},
[/mm]
das richtige Ergebnis ist aber x = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1}.
[/mm]
Nach langer Einleitung nun die kurze Frage:
Muss ich mit dem normalen b Vektor rechnen, wenn ich das Ergebnis mit Cholesky bestimmen will, oder aber mit der Wurzel von b, also b = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 4}.
[/mm]
Dann stimmt das Ergebnis nämlich wieder, jedoch finde ich in der Literatur keinen Hinweis darauf.
Danke für jede Hilfe =)
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:41 So 18.11.2007 | | Autor: | Rene |
die Zerlegung stimmt!
Du musst dich bei der Berechnung der Lösung vertan haben. Du kommst nämlich auf dein gesuchtes Ergebnis.
Nochmal die Vorgehensweise:
[mm]Ax=L^tLx=b[/mm]
i) ersetze [mm]Lx = v[/mm]
ii) löse [mm] L^tv = b[/mm]
iii) löse [mm]Lx = v[/mm]
Dann kommst du zu dem Ergebnis!
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