Chinesischer Restsatz < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:46 Mi 27.01.2010 | | Autor: | MacMath |
| Aufgabe | Sei [mm] $n=n_1n_2$ [/mm] mit [mm] $ggT(n_1,n_2)=1$
[/mm]
Sei weiterhin $f: [mm] \IZ_{n_1}\times \IZ_{n_2} \to \IZ_{n}$ [/mm] die durch
[mm] $f(k_1,k_2)=a_1n_2k_1+a_2n_1k_2$ [/mm] gegebene Funktion, wobei [mm] $a_1$ [/mm] (bzw. [mm] $a_2$) [/mm] das multiplikative Inverse zu [mm] $n_2$ [/mm] (bzw. [mm] $n_1$) [/mm] modulo [mm] $n_1$ [/mm] (bzw. [mm] $n_2$)
[/mm]
Die [mm] $a_i$ [/mm] stammen aus dem chinesischen Restsatz.
Zu zeigen ist, dass f ein Isomorphismus ist. |
Nun gut, welche Rolle spielt hier der chinesische Restsatz? Bzw. welche variante davon?
Bijektivität ist zu zeigen, sowie die verträglichkeit mit der Gruppenoperation, aber was heißt das hier(Da der Definitionsbereich aus einem kartesischen Produkt besteht ist mir das nicht ganz klar)
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Halo,
welche Varianten des chin. Restsatzes kennst Du denn?
Ich kenne eine, die liefert einen surjektiven Homomorphismus
[mm]g: \IZ\to\IZ_{n_1}\times \IZ_{n_2} [/mm] mit bekanntem ker.
Darauf den Homomorphiesatz angewendet gibt den gewünschten Isomorphismus. Dass er die gegebene Form hat müsste aus dem Beweis des chin. Restsatzes folgen
Gruß korbinian
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:51 Do 28.01.2010 | | Autor: | MacMath |
Also ich habe mir aus einem Algebra-Script von vor 3 Jahren den chinesischen Restsatz gesucht, aber der handelt von Idealen und Moduln und erschien mir hier nicht wirklich hilfreich.
Inwiefern ist der Kern denn bekannt?
Alles was mir aus der Aufgabenstellung klar wird ist
[mm] a_1n_2=1 [/mm] mod [mm] n_1 [/mm] (oder?)
Nachtrag:
Langsam bekomme ich etwas Zugang zu der Aufgabe, aus [mm] ggT(n_1,n_2) [/mm] folgt ja direkt das [mm] f(k_1,k_2)=0 [/mm] <=> [mm] k_1=k_2=0
[/mm]
Damit bekomme ich injektivität und damit (Beide Mengen haben n Elemente) auch Surjektivität geschenkt wenn ich die Homomorphismen Eigenschaft zeigen kann.
Welche wäre das in diesem Fall? (Definitionsbereich hat ja 2 Komponenten)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Sa 30.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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