Chinesischer Restsatz < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:48 Do 15.10.2009 | | Autor: | Tina85 |
In Algebraische Zahlentheorie von Jürgen Neukirch haben wir gelesen, dass folgendes gelten soll:
Anstelle die sämtlichen Kongruenzen [mm] F(x_{1},...,x_{n})\equiv [/mm] 0 mod m zu betrachten kann man nach dem chin. Restsatz auch die Kongruenzen [mm] F(x_{1},...,x_{n}) \equiv [/mm] 0 mod [mm] p^{v} [/mm] für alle v [mm] \in \IN [/mm] betrachten.
Um den chin. Restsatz anwenden zu können müssten doch eigentlich die [mm] p^{v} [/mm] teilerfremd sein, was ja nicht der Fall ist.
Kann uns jemand ein paar Tipps oder eine passende Formulierung des chin. Restsatzes geben?! Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:51 Do 15.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> In Algebraische Zahlentheorie von Jürgen Neukirch haben
> wir gelesen, dass folgendes gelten soll:
>
> Anstelle die sämtlichen Kongruenzen
> [mm]F(x_{1},...,x_{n})\equiv[/mm] 0 mod m zu betrachten kann man
> nach dem chin. Restsatz auch die Kongruenzen
> [mm]F(x_{1},...,x_{n}) \equiv[/mm] 0 mod [mm]p^{v}[/mm] für alle v [mm]\in \IN[/mm]
> betrachten.
>
> Um den chin. Restsatz anwenden zu können müssten doch
> eigentlich die [mm]p^{v}[/mm] teilerfremd sein, was ja nicht der
> Fall ist.
Doch, das ist nur etwas ungluecklich formuliert:
Es wird gesagt, dass
[mm] $F(x_1, \dots, x_n) \equiv [/mm] 0 [mm] \pmod{m}$ [/mm] fuer alle $m [mm] \in \IN_{>0}$ [/mm] anzuschauen
das gleiche ist wie
[mm] $F(x_1, \dots, x_n) \equiv [/mm] 0 [mm] \pmod{p^v}$ [/mm] fuer alle Primzahlen $p$ und alle $v [mm] \in \IN$ [/mm] anzuschauen
Fuer eine Zahl $m [mm] \in \IN_{>0}$ [/mm] mit $m = [mm] \prod_{i=1}^t p_i^{v_i}$ [/mm] ist ja [mm] $F(x_1, \dots, x_n) \equiv [/mm] 0 [mm] \pmod{m}$ [/mm] das gleiche wie [mm] $F(x_1, \dots, x_n) \equiv [/mm] 0 [mm] \pmod{p_i^{v_i}}$ [/mm] fuer $i = 1, [mm] \dots, [/mm] t$.
Und wenn du [mm] $F(x_1, \dots, x_n) \equiv [/mm] 0 [mm] \pmod{p^v}$ [/mm] anschaust, ist es das gleiche als wenn du $m = [mm] p^v$ [/mm] nimmst.
Vermutlich geht es um Nullstellen haben (oder keine Nullstellen haben?), dann kann man das ganze so formulieren:
Die beiden Aussagen sind aequivalent:
a) Fuer jedes $m [mm] \in \IN_{>0}$ [/mm] hat [mm] $F(x_1, \dots, x_n) \equiv [/mm] 0 [mm] \pmod{m}$ [/mm] eine Loesung;
b) Fuer jede Primzahl $p$ und jedes $v [mm] \in \IN$ [/mm] hat [mm] $F(x_1, \dots, x_n) \equiv [/mm] 0 [mm] \pmod{p^v}$ [/mm] eine Loesung.
LG Felix
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