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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:52 Mi 18.06.2008 | | Autor: | grenife |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die kleinste natürliche Zahl, die bei Division durch 5 den Rest 1, bei Division durch 7 den Rest 2, bei Division durch 11 den Rest 3 hat und durch 13 teilbar ist. |
Hallo zusammen,
wäre nett, wenn jemand meine Lösung korrigieren könnte.
Gesucht ist eine Zahl $X$, die das folgende System simultaner Kongruenzen löst:
[mm] $X\equiv [/mm] 1(5)$
[mm] $X\equiv [/mm] 2(7)$
[mm] $X\equiv [/mm] 3(11)$
[mm] $X\equiv [/mm] 0(13)$
Anwendung des chinesischen Restsatzes liefert:
[mm] $m:=5\cdot 7\cdot 11\cdot [/mm] 13=5005$
[mm] $a_1:=\frac{m}{m_1}=\frac{5005}{5}=1001$
[/mm]
[mm] $a_2:=\frac{m}{m_2}=\frac{5005}{7}=715$
[/mm]
[mm] $a_3:=\frac{m}{m_3}=\frac{5005}{11}=455$
[/mm]
[mm] $a_4:=\frac{m}{m_4}=\frac{5005}{13}=385$.
[/mm]
Es werden nun Lösungen der folgenden Kongruenzen gesucht:
[mm] $1001X\equiv [/mm] 1(5)$
[mm] $715X\equiv [/mm] 2(7)$
[mm] $455X\equiv [/mm] 3(11)$
[mm] $385X\equiv [/mm] 0(13)$
Für [mm] $x_1:=1$ [/mm] ist 1001 durch 5 mit Rest 1 teilbar.
Für [mm] $x_2:=2$ [/mm] ist 1430 durch 7 mit Rest 2 teilbar.
Für [mm] $x_3:=9$ [/mm] ist 4095 durch 11 mit Rest 3 teilbar.
Für [mm] $x_4:=13$ [/mm] ist 5005 durch 13 teilbar.
Dann ist [mm] $X=1001\cdot [/mm] 1 [mm] +715\cdot [/mm] 2 [mm] +455\cdot [/mm] 9 [mm] +385\cdot [/mm] 13=11531$ eine Lösung des Systems. Da modulo m=5005 gerechnet werden darf, ist 1521 die gesuchte kleinste natürliche Zahl.
Vielen Dank für Eure Hilfe und viele Grüße
Gregor
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:41 Mi 18.06.2008 | | Autor: | Kyrill |
Hi,
sieht gut aus!
Gruß
Kyrill
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
das Ergebnis stimmt jedenfalls - ich habe mit einem
kleinen Suchprogramm ebenfalls 1521 erhalten
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