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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:09 Di 05.02.2008 | | Autor: | Kyrill |
| Aufgabe | Entscheiden Sie, ob die folgende Aussage wahr oder falsch ist.
Der Ring [mm] \IQ[X]/(X²+X-2) [/mm] ist ein Produkt zweier nichttrivialer Ringe |
Hallo alle miteinander,
ich schreibe in gut 10 Tagen meine Algebraklausur. Jetzt haben wir eine Probeklausur bekommen und irgendwie naja. Es geht so...
Der Chinesische Restsatz in der Algebra lautet ja:
Sei R Ring, seien [mm] a_{1},..., a_{n} [/mm] koprime Ideale
Sei [mm] \pi [/mm] R [mm] \to R/a_{i} [/mm] kan. Epimorphismus
[mm] \rightarrow [/mm] f: R [mm] \to R\a_{1}x...xR\a_{n}
[/mm]
Weiter induziert f Isomorphismus [mm] R\\bigcap_{i=1}^{n}a_{i}
[/mm]
So jetzt weiß ich bei der Aufgabe, dass [mm] \IQ[X] [/mm] Ring ist. Jetzt muss ich ja eigentlich "nur" untersuchen, ob das Ideal (X²+X-2) der kgv von 2 anderen Idealen ist, die beiden Ideale sind ja dann koprim, erfüllen dann ja den Restsatz.
Dann habe ich mit Polynomdivision herausgefunden, dass X²+X-2 der kgv von x-1 und x+2 ist.
Jetzt weiß ich, dass [mm] \IQ[X]/(X²+X-2) \cong \IQ[X]/(X+2)x \IQ[X]/(X-1) [/mm] und bin dann doch eigentlich fertig, oder?
Schonmal vielen dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:53 Di 05.02.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Entscheiden Sie, ob die folgende Aussage wahr oder falsch
> ist.
>
> Der Ring [mm]\IQ[X]/(X²+X-2)[/mm] ist ein Produkt zweier
> nichttrivialer Ringe
>
> Hallo alle miteinander,
> ich schreibe in gut 10 Tagen meine Algebraklausur. Jetzt
> haben wir eine Probeklausur bekommen und irgendwie naja. Es
> geht so...
>
> Der Chinesische Restsatz in der Algebra lautet ja:
>
> Sei R Ring, seien [mm]a_{1},..., a_{n}[/mm] koprime Ideale
> Sei [mm]\pi[/mm] R [mm]\to R/a_{i}[/mm] kan. Epimorphismus
> [mm]\rightarrow[/mm] f: R [mm]\to R\a_{1}x...xR\a_{n}[/mm]
>
> Weiter induziert f Isomorphismus [mm]R/\bigcap_{i=1}^{n}a_{i}[/mm]
>
> So jetzt weiß ich bei der Aufgabe, dass [mm]\IQ[X][/mm] Ring ist.
> Jetzt muss ich ja eigentlich "nur" untersuchen, ob das
> Ideal (X²+X-2) der kgv von 2 anderen Idealen ist, die
> beiden Ideale sind ja dann koprim, erfüllen dann ja den
> Restsatz.
Dass sie koprim sind muss man eigentlich noch zeigen, bzw. liegt hier daran, dass das Polynom keine mehrfachen Nullstellen hat.
> Dann habe ich mit Polynomdivision herausgefunden, dass
> X²+X-2 der kgv von x-1 und x+2 ist.
Genau.
> Jetzt weiß ich, dass [mm]\IQ[X]/(X²+X-2) \cong \IQ[X]/(X+2) \times \IQ[X]/(X-1)[/mm]
> und bin dann doch eigentlich fertig, oder?
Ja.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:15 Mi 06.02.2008 | | Autor: | Kyrill |
Hey,
super danke schön!
Jetzt habe ich noch eine kurze Verstädnisfrage.
Und zwar:
Ich hatte ja das Ideal X²+X-2. Die Ideale in die ich das aufgespalten haben waren X-2 und X+1. Jetzt hätte ich noch zeigen müssen, dass die beiden Ideale koprim sind. Koprim haben wir in der Vorlesung so definiert, dass wenn man sie addiert wieder der Ring herauskommt.
Jetzt hast du geschrieben, dass die beiden Ideale koprim sind, da X²+X-2 keine doppelte Nullstelle hat.
Kann ich das immer annehmen?
Gruß
Kyrill
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:04 Mi 06.02.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Kyrill
> Jetzt habe ich noch eine kurze Verstädnisfrage.
> Und zwar:
> Ich hatte ja das Ideal X²+X-2. Die Ideale in die ich das
> aufgespalten haben waren X-2 und X+1. Jetzt hätte ich noch
> zeigen müssen, dass die beiden Ideale koprim sind. Koprim
> haben wir in der Vorlesung so definiert, dass wenn man sie
> addiert wieder der Ring herauskommt.
> Jetzt hast du geschrieben, dass die beiden Ideale koprim
> sind, da X²+X-2 keine doppelte Nullstelle hat.
> Kann ich das immer annehmen?
Nee, das muesste man schon nachrechnen ;) Hier sieht man es sofort, weil [mm] $X^2 [/mm] + X - 2 = (X - 2) (X + 1)$ ist und somit zwei verschiedene hat...
Was du im Prinzip machst, ist eine Zerlegung in irreduzible Polynome. Wenn einer der irreduziblen Faktoren einen Exponent $> 1$ hat, dann hat das Polynom mehrfache Nullstellen, da irreduzible Polynome keine mehrfachen Nullstellen haben (s.u.). (Hier sind die irreduziblen Faktoren gerade $X - 2$ und $X + 1$, und beide haben Exponent 1.)
(Das irreduzible Polynome hier keine mehrfachen Nullstellen haben liegt daran, dass wir in Charakteristik 0 sind, also der Koerper [mm] $\IQ$ [/mm] enthaelt: in Charakteristik $p$ muss man etwas mehr aufpassen...)
Allgemein: wenn du zwei Polynome $g, h [mm] \in \IQ[X]$ [/mm] hast, dann sind sie teilerfremd, wenn sie keine gemeinsamen Nullstellen (in [mm] $\IC$) [/mm] haben.
Sorry, wenn das jetzt ein wenig konfus ist, aber ich bin grad ein wenig zu muede :)
LG Felix
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:00 Mi 06.02.2008 | | Autor: | Kyrill |
Hallo Felix,
da habe ich mich vielleicht unglücklich ausgedrückt. Das ich das immer nachrechnen muss ist mir eigentlich schon klar. Meine Frage ist eher:
Wenn die Polynome der Zerlegung Teilerfremd sind, sind sie dann auch koprim?
Das haben wir nämlich so nie in der Vorlesung gesagt oder benutzt.
Gruß
Kyrill
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Fr 08.02.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:57 Sa 09.02.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Kyrill
> da habe ich mich vielleicht unglücklich ausgedrückt. Das
> ich das immer nachrechnen muss ist mir eigentlich schon
> klar. Meine Frage ist eher:
> Wenn die Polynome der Zerlegung Teilerfremd sind, sind sie
> dann auch koprim?
Sorry, war in den letzten Tagen ein wenig offline. Die Begriffe koprim und teilerfremd sind (normalerweise, also hier auf jeden Fall) genau das Gleiche :)
LG Felix
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